Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

MMP / Flip / フリップ / 極小対数的食い違い係数

2021年度は, コロナ渦の影響で, Utah大学に訪問することはできなかった。その結果, 本研究期間を2022年度まで延長させてもらうように申請した。一方、研究自体はオンラインを通してなんとか行っており、時差があり、うまく議論の時間が取れなくて苦しいところもあるが進展させている。対数的変動についての研究を行った。対数的変動の定義には自然な二通りの方法があり、一つは古典的なナイーブな一般化とよりモジュライ的解釈の方法とがある。これらの関係性を明らかにした。もう一つは形式的拡張定理の確立と応用である。一般形式的拡張定理は、環論を駆使することにより証明が完成した。今までは幾何学的変形理論によって得られていたものを純可換環論的にアプローチした点が新しいと思う。対数的変動の論文は現在準備中であり、一般形式的拡張定理の研究は応用がまとまり次第発表していきたいと考えている。

generalarized pairに対するMInimal log discrepancyについての論文は無事昨年度Arxiv上で発表した。これはFlipの停止問題と非常に関係のあるMinimal log discrepancyに対する予想は全て同様にgeneralized pairについても拡張して考えられることがわかりknown caseを証明して行った。またLower semi-continuityについての予想は完全に普通の対数的対の場合に帰着できることがわかった。

MLD / 極小モデル理論 / MMP / 極小対数的食い違い係数 / フリップの停止 / フリップ / 相対標準因子の正値性 / 錐定理 / ファノ多様体 / FLIP / フリップの停止問題 / 食い違い係数

2020年度は、コロナ渦の中、予定していた研究活動を大幅に変更しての活動となった。具体的には予定していた研究集会への参加及び講演活動は行うことができなかった。講演活動はオンラインにて、UCLAの代数幾何セミナー及びZoom Algebaraic Geometry seminarにて講演を行なった。またZoom Algebraic Seminarと東大・京大代数幾何セミナーの世話人を行い、情報収集における研究活動を行なった。
研究の進展状況だが, 2020年度は, 一般化された偏極対に対する極小対数的閾値の論文 (中村勇哉氏と Wei–Chung Chen 氏との共著) をまとめつつ、退化されたファイバー上の多重標準系からの拡張の問題について変形理論的視点からの研究を行った。割とこれはうまくいっているようで近日中にまとめて発表できればと考えている。その他にも、退化の構成、相対的 Du Bois 複体についての研究などを行った。主に神戸大学の佐野太郎氏や Utah 大の Christopher Hacon 氏と議論している。特に相対的Du Bois複体の応用の研究は現在Christopher Hacon氏と議論を重ねドラフトはできているものの証明に間違いがないかなどをチェックしている。

アバンダンス予想 / ファノ型多様体 / 大域的F正則多様体 / 正標数還元 / F-正則多様体 / 対数的ファノ多様体 / 反標準因子 / 有理連結ファイブレーション / MMP / 大域的正則F多様体 / フリップ / log Fano / log Calabi--Yau / log canonical / klt / BAB予想 / アバンダンス / Fano / Calabi--Yau / log Fano多様体 / 正標数上の代数幾何学 / 川又対数的端末特異点 / 自己準同型射 / log Calabi--Yau多様体 / 極小モデル理論 / カラビ・ヤウ / ファノ / 正標数 / 自己準同形射

正標数還元手法の研究として、主にファノ型多様体、カラビ・ヤウ型多様体。大域的F正則多様体、および大域的F分裂多様体の研究を行った。前者の二つは極小モデル理論における基本ピースに現れる多様体で、後者の二つは正標数の基礎体上で定義されるフロベニウス写像によって定義される多様体である。この前者と後者は正標数還元により行き来することが予想されている。この研究費での研究期間中の主要な成果はこの予想に関する部分的解決と後者の多様体たちに対する正標数上の極小モデル理論的な観点からの研究である。

正標数還元手法は、標数０の代数幾何学において、非常に有効な技術として認識されており、解析的手法とならんで、その手法の応用は非常にインパクトがある。
正標数上の極小モデル理論の研究は標数0上の研究の延長としても非常に重要な研究であり、最近F特異点の研究が正標数上の極小モデル理論の研究に応用されていることから踏まえても、本研究の学術的意味は非常にあったといえる。また正標数上の代数幾何学の社会への応用としては暗号理論をはじめとする様々の分野ですでに確立されているので、本研究はその点における将来的な社会的貢献は十分に可能性がある。

【研究分担者】
中村勇哉	東京大学	大学院数理科学研究科	助教	(Kakenデータベース)