【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】18560065 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 離散可積分系 / 超離散 / 離散力学系 / 差分方程式 / 交通流 / セルオートマトン / 最適速度モデル / 可積分 / 超離散化 / アトラクタ

【研究成果の概要】

本研究の主な成果は以下の通りである。(1) 2つの保存量を持つ3階の可積分差分方程式が、2階の可積分差分方程式であるQRT系のペアから構成されることを示した。(2) 2階の可積分差分方程式であるQRT系から、明示的なリャプノフ関数を持つ差分方程式系を構成した。(3) QRT系と周期を持つ変換を組み合わせることによって、高次の保存量を持つ2階の差分方程式を構成する方法を提案した。(4) 交通流モデルとして知られる最適速度モデルの離散化、超離散化に成功した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,210千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 510千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】11555023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / 超離散 / 差分方程式 / セルオートマトン / 交通流 / 箱玉系 / デジタル / パターン形成 / 超離散化 / 交通流モデル / 反応拡散系 / 再帰方程式 / max-plus方程式 / バーガーズ方程式 / 可積分系 / 可積分 / クリスタルベース

【研究成果の概要】

超離散化は,exp型の非解析的極限を差分方程式に適用し,従属変数の離散化を行うという手法である.この手法と微分方程式の差分化手法を組み合わせると,微分方程式から差分方程式,そして超離散化方程式という一連の離散化が可能になる.本研究は,この離散化手法を具体的な方程式にあてはめ,どのような応用が可能かを探る研究である.その具体的な成果は以下の通りである.
まず,バーガーズ方程式の線形化可能構造を壊さずに,差分化そして超離散化することにより,交通流のモデルの基礎となるルール番号184のセルオートマトンを得ることに成功した.そして,このセルオートマトンを拡張することにより現実の交通流の渋滞形成を再現するモデルを得ることに成功した.
次に超離散化手法が基盤としているマックス-プラス代数を応用することにより,反応拡散系などのパターン形成系のメカニズムを再現できるデジタル方程式を提案することに成功した.この方程式から,ターゲットやスパイラルなどのパターンがどのような数学的表現により実現されるかが明確になり,パターン形成理論に対して新しい知見をもたらすことができた.
さらに,再帰系などの2階の非線形差分方程式の超離散化を行い,その解構造を調べた.これら系の解は一般に楕円関数で表現することができる.超離散化を行うと,解はmod関数に似たふるまいをすることが分かった.そこで,なぜそのような解の振る舞いが生じるのかを,力学系理論の観点から調べ,明示的な解構造を得ることに成功した.この成果は力学系理論に対して新しい寄与をなすと考えられる.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2002

【配分額】6,900千円 (直接経費: 6,900千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】10650065 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

超差分(離散)方程式 / 可積分系の差分化 / 非線形差分方程式 / 差分学 / セル・オートマトン / 交通流 / パターン形成 / 特異値分解 / 可積分 / 差分化 / Pfaffian / 保存量 / コマの運動方程式 / 超離散方程式 / ソーテング / ソリトン / 結合型MKdV方程式 / 交通流モデル / KdV方程式 / バーガーズ方程式 / ミウラ変換 / Max-Plus代数

【研究成果の概要】

我々は差分学構築の目的を次の2点に絞った。
1.実数の連続性を否定しても解析学に対応するものを離散的空間で建設できるか?
2.微分方程式の差分化の方法は無数にあるが、微分方程式の持つ定性的・大域的性質を保存するような差分化(超差分化)は可能であるか?
目的1.は肯定的に達成された。詳しくは下記の出版物
(1).広田良吾,『差分方程式講義』サイエンス社(2000).
(2).辻本諭,『可積分系の応用数理』(第一章可積分系の離散化について)中村佳正編,裳華房(2000).に述べられている。
目的2.も肯定的に達成された。この問題に関しては非常に多くの成果がえられた。上記の学会誌等への発表文献(1,2,5,7,9,10,11,12,14,17)が差分化(超差分化)を議論した論文である。論文(8,15)は可積分な微分方程式を議論したもので、これらの微分方程式も、差分化可能であると推定されている。
差分学の工学的応用
論文(3,4,6,13,18,19,20)は超差分方程式のセル・オートマトン、交通流、パターン形成を論じたものである。数値計算法のマトリックスの特異値分解に対する応用として(発表文献16)がある。可積分系の理論を使ったこの新しい方法は既存の方法よりも計算時間が早くなる可能性がある。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1998 - 2001

【配分額】3,900千円 (直接経費: 3,900千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】09750087 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / セルオートマトン / 可積分 / 超離散 / 差分方程式 / パンルベ方程式 / 交通流 / カオス / 超離散極限 / 非線形波動

【研究成果の概要】

本研究の主な目的は超離散化手法を用いたセルオートマトンの代数構造の解析とその応用であった。そして本年度の研究は大きく分けて以下の3つである。(1)差分ソリトン方程式を超離散化によってセルオートマトンに翻訳しそのダイナミクスを解析する。(2)差分バーガーズ方程式の超離散化をベースとして交通流の解析を行う。(3)パンルベ方程式・ソリトン方程式の超離散化によって得られるセルオートマトンをもとにセルオートマトンの可積分性について提案する。
(1)では差分ロトカ・ボルテラ方程式、戸田分子方程式から超離散化によって単純な規則で定義される粒子系に翻訳することができた。そしてその粒子系のもつ代数構造(ソリトン解、保存量など)が元のソリトン方程式と等価であることがわかった。さらに、その粒子系の時間発展規則がソーティングアルゴリズムとして解釈でき、ソーティングアルゴリズムの解析学的取り扱いを可能にした。
(2) では差分バーガーズ方程式を超離散化によってルール番号184のECAに帰着することができた。このECAは交通流の基礎となるセルオートマトンであり、解の漸近挙動が渋滞相、非渋滞相に分かれることが知られている。この現象をバーガーズ方程式の初期値問題として捉え、現象の起こる理由の解析学的証明に成功した。そして、バーガーズ方程式を拡張して再び超離散化をとることにより、より現実的な現象を再現できる交通流モデルを提出することに成功した。
(3) では差分パンルベ方程式や差分ソリトン方程式の可積分性の判定に用いられる特異点閉じこめ法が超離散化によってどのような結果を生み出すかを観察した。そして差分方程式での特異点および有限値が超離散方程式においては有限値と摂動に変換されることを発見し、このことから超離散方程式の可積分性を定義することに成功した。また、特異点閉じこめ法とリャプノフ指数との直接的な関係を明らかにし、ソリトン理論における可積分性とカオス理論における可積分性とのつながりを解明した。

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】2,400千円 (直接経費: 2,400千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】06750074 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / セルオートマトン / 可積分 / 代数構造

【研究成果の概要】

本研究では、本研究代表者によって発見されたセルオートマトン型のソリトン系の代数構造の解明、従来のソリトン理論との関連の解明、および、工学への応用が主要なテーマであった。
まず、代数構造については、組み合わせ論によるアプローチが行われた。そして、系の状態や保存量をスタック順列やディック言語によって表現することにより、系のダイナミクスに関する重要な知見が得られた。この成果については近々論文雑誌で公表する予定である。
次に、従来のソリトン理論との関連についてであるが、上で述べた系の2階差分版とでも言うべき新たな拡張系が見つかった。この拡張系は1次元空間内を両方向に進行できるような孤立波解を有しており、方程式の表現やダイナミクスの特徴から、戸田格子方程式のセルオートマトン版であると考えることができる。この類推を用いれば、元の系自身はロトカーボルテラ方程式のセルオートマトン版であると考えることができる。今のところ、連続変数のソリトン方程式との代数構造における直接的な関連は未解明であるが、本研究の上で述べた成果は解明のための重要なヒントを与えている。この成果についても上記のものとは別に論文雑誌で公表する予定である。
さらに、工学への応用であるが、現在のところまだ有用な応用は見つかっていない。しかしながら、ロトカーボルテラ方程式を固有値問題の数値計算に応用できることが既に知られており、本研究の系もロトカーボルテラ方程式に関連していることから、数値計算への応用の可能性が非常に大きいと考えられる。
以上の成果は、いくつかの研究会で発表され、論文雑誌で公表する予定である。本研究の目標達成度を総合的に判断すると、最終的な目標が達成されるには到らなかったが、そのための重要な手がかりのいくつかを具体的に得ることができたという段階である。

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1994

【配分額】900千円 (直接経費: 900千円)