Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

ソリトン / セルオートマトン / 可積分 / 超離散 / 差分方程式 / パンルベ方程式 / 交通流 / カオス / 超離散極限 / 非線形波動

本研究の主な目的は超離散化手法を用いたセルオートマトンの代数構造の解析とその応用であった。そして本年度の研究は大きく分けて以下の3つである。(1)差分ソリトン方程式を超離散化によってセルオートマトンに翻訳しそのダイナミクスを解析する。(2)差分バーガーズ方程式の超離散化をベースとして交通流の解析を行う。(3)パンルベ方程式・ソリトン方程式の超離散化によって得られるセルオートマトンをもとにセルオートマトンの可積分性について提案する。
(1)では差分ロトカ・ボルテラ方程式、戸田分子方程式から超離散化によって単純な規則で定義される粒子系に翻訳することができた。そしてその粒子系のもつ代数構造(ソリトン解、保存量など)が元のソリトン方程式と等価であることがわかった。さらに、その粒子系の時間発展規則がソーティングアルゴリズムとして解釈でき、ソーティングアルゴリズムの解析学的取り扱いを可能にした。
(2) では差分バーガーズ方程式を超離散化によってルール番号184のECAに帰着することができた。このECAは交通流の基礎となるセルオートマトンであり、解の漸近挙動が渋滞相、非渋滞相に分かれることが知られている。この現象をバーガーズ方程式の初期値問題として捉え、現象の起こる理由の解析学的証明に成功した。そして、バーガーズ方程式を拡張して再び超離散化をとることにより、より現実的な現象を再現できる交通流モデルを提出することに成功した。
(3) では差分パンルベ方程式や差分ソリトン方程式の可積分性の判定に用いられる特異点閉じこめ法が超離散化によってどのような結果を生み出すかを観察した。そして差分方程式での特異点および有限値が超離散方程式においては有限値と摂動に変換されることを発見し、このことから超離散方程式の可積分性を定義することに成功した。また、特異点閉じこめ法とリャプノフ指数との直接的な関係を明らかにし、ソリトン理論における可積分性とカオス理論における可積分性とのつながりを解明した。

非線形システム / 構造 / ダイナミックス / 非決定性作用素 / 数値解析技法 / ソリトン / カオス / モデリング

1はしがき
ソリトンやカオス等の新たな非線形現象の発見や、VLSI等の発展により、非線形システムの解析は益々重要性を加え、そのより精緻な新しい解析手法の開発が要望されている。本研究は、非線形システムの構造とダイナミックスに関し、本研究者等が開発した新しい解析手法によって徹底的な検討を加え、その基本的性質を明らかにして、具体的諸問題への応用の基礎を築くことを目的として、三年間に渡って遂行された。
2研究成果
本研究では、近代数学が生み出した新しい概念による数学的手法を開発しつつ、非線形システムの構造とダイナミックスに関する基本的な諸性質を解明する理論を展開し、その結果、実際的諸問題への応用の基礎を与えた。具体的には、そのための創造的・効果的な手法として、新たに
(1)非決定性作用素に関する関数解析的手法
(2)ホモトピー法や分割解法に基づく非線形システムの数値解析技法
(3)ソリトン等の非線形波動を解明する新しい方法論
を開発・展開して、一般的な非線形システムを解析する方法論を論ずると共に、
(4)電子回路における非周期アトラクタの実験による観測とシミュレーションによる検証およびカオス的であることの理論的証明
(5)送風機およびMultibodyシステムのダイナミックスの解析とそのモデリング
(6)光伝送系や生体系でのカオス現象モデルの解析
を行って、その基本的性質を解明した。本研究は所期の成果を得て、その目的を達成したと考えられる。

【研究分担者】
山村清隆	早稲田大学	理工学部	助手	(Kakenデータベース)
大石進一	早稲田大学	理工学部	助教授	(Kakenデータベース)
松本隆	早稲田大学	理工学部	教授	(Kakenデータベース)
川瀬武彦	早稲田大学	理工学部	教授	(Kakenデータベース)