【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】17654039 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

熱核 / リーマン計量 / 測地線 / 確率論 / 解析学 / フラクタル / 自己相似集合 / Dirichlet形式 / ランダムウォーク

【研究成果の概要】

木上は、Sierpinski gasket上のstandard Dirichlet formに関するKusuokaの結果をもとに、Sierpinski gasket上のMeasurable Riemannian stturcutreについて研究を行った。その過程で、Kusuokaによるgradient operatorとKigamiによるhamonic Sierpinski gasket上のgradient operatorが本質的に同じものであること、Kusuoka measureがユークリッドの距離に関してvolume doublingであることを示した。
また、harmonic Sierpinski gasket上のshortest path metricがmeasurable Riemannian structureから決まる測地線距離で有ることを示した。さらにこれらの結果を組み合わせて、Kusuoka measureに対応する熱核がLi-Yau型のGaussian estimateを満たすことを証明した。
日野は、(無限分岐的なものも含む)自己相似集合上の自己相似的なDirichlet formのエネルギー測度について研究した。
エネルギー測度が自己相似測度に対して特異的になるための条件を示し、いくつかの興味ある場合に適用した。

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2005 - 2006

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】11640713 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率過程 / サンプルパス / 大偏差原理 / 漸近挙動 / フラクタル / Wieher sausage / 重複対数の法則 / 対称拡散過程 / Wiener sausage / 重複大数の法則 / ランダムウォーク / 概不変原理 / range

【研究成果の概要】

1.本研究を遂行する中で、d次元正方格子上のランダムウォークの訪問点に関して新たな知見が得られた。第1に、dが3の場合に概不変原理を証明した。これは、従来中心極限定理まで知られていたものを精密化したものであり、これによりサンプルパスに関する種々の極限定理が系として導かれる。第2に、dが2の場合に重複対数の法則を証明した。よく知られた重複対数の法則とはオーダーが異なり、3重対数が現れるのが特徴的である。これらの結果はBass氏との共著で論文にまとめ、Ann.Probab.に掲載予定である。
2.複雑な形の不純物が空間内に存在するとき空間からこの物質内への熱伝導はどのようになるかという問題を扱い、実解析で用いられるBesov空間の理論を援用することにより、ある条件のもとでこのような熱伝導を表す拡散過程(物質内ではその物質の拡散をし、外では空間の拡散に従うようなもの)が構成できることを示した。これに関する論文は、J.Funct.Anal.に掲載された。続いて、このような拡散過程の熱核の短時間挙動についての詳しい評価を得、汎関数型の大偏差原理を証明した。この結果については、現在論文を執筆中である。
3.無限次元空間上の拡散過程の集合間の推移確率に関してVaradhan型の短時間漸近挙動と類似の漸近挙動の問題を考察し、通常の集合間距離の代わりに内在距離を用いることで、技術的な条件無しに非常に一般的な枠組みの下でこのような漸近評価を証明した。これによって、特に興味を持たれていたリーマン多様体上のループ空間におけるOrnstein-Uhlenbeck過程の場合についての予想を肯定的に解決した。ユークリッド空間上の対称拡散過程に関しても、その生成作用素が退化しているとき一般にこの結果は新しい。これらの結果はJ.A.Ramirez氏との共著で雑誌投稿中である。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1999 - 2001

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】10440029 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 拡散過程 / 確率過程 / マルチフラクタル / ハウスドルフ次元 / 熱核 / 極限定理 / ベソフ空間 / 固有値分布 / ランダムウォーク

【研究成果の概要】

本研究を通じて、フラクタル上の解析学について以下の成果を得ることができた。
1.フラクタル上の自己共役作用素のスペクトル
自己相似測度をベースとする拡散過程において、測度の自己相似性と拡散過程のスケールがマッチしない際の熱核の短時間漸近挙動を研究した。この場合の漸近挙動は初期点に大きく依存してマルチフラクタルが現れることが分かり、その(ユークリッド距離等に関する)ハウスドルフ次元を計算した。この結果は雑誌に掲載予定である。さらに、フラクタル上に擬距離の族を定め、ある特別な擬距離については上述した次元が単純な形で表現できることを示した。この結果は現在論文に纏めている。
2.ランダムフラクタル上の確率過程の解析
(1)Homogeneous random Sierpinski carpet上の拡散過程とその熱核の評価に関する研究をまとめ、雑誌に掲載された。
(2)空間的な対称性のないrandom recursive Sierpinski gasket上の拡散過程の熱核の短時間漸近挙動を調べ、この挙動に重複対数分の振動が現われることを証明した。この結果は雑誌に掲載された。
3.フラクタル上の確率解析
(1)ユークリッド空間内にフラクタルなどの複雑な系が埋め込まれたモデルにおける熱伝導問題を扱い、実解析で用いられるベソフ空間の理論を援用することにより、内部では系特有の拡散、外部ではユークリッド空間の拡散に従うような拡散過程を解析的に構成した。この結果は雑誌に掲載され、現在は拡散過程の短時間挙動の大偏差原理を研究中である。
(2)T.Lyons氏らによる「ラフパスを持つ確率過程上の確率解析の研究」の発展については、新たな成果を得られなかった。離散近似を手がかりに、彼らの与えた確率微分方程式の性質を詳しく探ることは今後の大きなテーマの一つである。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】7,800千円 (直接経費: 7,800千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】08454040 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 確率過程 / 自己相似集合 / 熱核 / シェルピンスキーカーペット / ハルナック不等式 / ホモジナイゼーション / 拡散過程 / ランダムウォーク / ハウスドルク次元 / 固有値分布

【研究成果の概要】

1。本研究を遂行する中で、有限分岐的フラクタル上の確率過程についての新たな知見が得られた。P.c.f.self-similar setと呼ばれる自己相似性を持った有限分岐的フラクタルの上にレジスタンスメトリックという距離を入れたとき、この上の拡散過程の熱核(基本解)の精密な評価が一般に可能であるという結果である。これまでに、図形に強い対称性がある場合には熱核のアーロンソン型の評価が得られていたが、今回の研究により、一般にはアーロンソン型の評価は成り立たないことがわかり、さらにショーティストパスの挙動との関連が詳しく調べられた。この結果を熊谷は共著の論文にまとめ、J.London Math.Soc.に掲載予定である。
2。インフィニット、ラミファイド(無限分岐的)フラクタルについては、ランダムシェルピンスキーカーペットに於ける拡散過程の熱核の研究を行い、サンプルとなるカーペットごとの熱核の詳しい評価が得られ、ランダムネスに強いエルゴード性の条件が課せられる時には、この評価からさらに確率1で成り立つ評価が導かれることが分かった。図形が高次元の場合、バーロー・バス達によるカップリングの方法を用いることによりハルナック不等式を証明することが議論の一つの鍵となった。この結果を熊谷は共著の論文にまとめ、投稿予定である。
3。ユークリッド空間での現象とのつながり、特にホモジナイゼーションについては、楠岡氏との共同研究以来くりこみ不変な点の安定性が問題になっている。本研究の中で、海外の学会等で関連した研究を行っている研究者達と議論を行い彼等のプレプリントを読むことによりいくつかの新たな手法、視点を得ることが出来たが、それを我々の範疇に適応するには依然いくつかの技術的困難が残っている。これは今後の課題である。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1996 - 1997

【配分額】1,800千円 (直接経費: 1,800千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05740121 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / フラクタル / 漸近一次元拡散 / ランダムウォーク / くりこみ群 / ランダム媒質 / 分枝過程

【研究成果の概要】

本研究の目的はフラクタル上の拡散過程の新しい構成方法、即ち我々が漸近一次元拡散と呼ぶ方法の開発であった。
本研究によって、我々が以前導入したabc-gasketsというフラクタルの族について、その上の漸近一次元拡散の存在を数学的に証明した。この成果により、この方法の開発に成功し、かつこの方法が既存の唯一の方法である固定点理論に比べて有効であることを明らかにした。
本研究は次のような特徴がある:
1.既存の固定点理論が持つ制約、即ち対応するくりこみ群に非退化固定点がないフラクタルの上の拡散が構成できないこと、が漸近一次元理論では生じない。原理的に広い範囲の図形に対して拡散の存在が言える。
2.容易軸(拡散しやすい方向)を持つ媒質中にランダムな障害物があるときには拡散が等方化する可能性を数学的に具体的に示したモデルになっている。これは障害物のない空間では起こり得ないのでフラクタルの研究によって見いだされた新しい可能性である。
3.漸近一次元拡散の構成は、対応するくりこみ群の分析に基づいてその存在の可能性を着想した。くりこみ群の描像は来世紀の数学および物理学において普遍的な概念として定着するべきものであり、本研究はその概念のフラクタル上の拡散における展開の具体例を与える。
4.くりこみ群の分析から拡散の構成に至る過程で多種粒子非定常(特異的)環境分枝過程の極限定理が本質的な役割を果たす。このように特異的な分枝過程の研究はこれまで動機がないためか例がなかった。本研究は分枝過程という大きな既存の分野に新しい研究動機を与える

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1993

【配分額】400千円 (直接経費: 400千円)