【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】09640298 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

くりこみ群 / フラクタル / 漸近一次元拡散 / 等方性の回復 / カイラルアノマリー / self-avoiding path / ゼータ関数 / 可解格子模型 / self-avoidingpath / 場の量子論 / 極限定理 / スケール変換 / 指数 / 非等方性 / 電気抵抗回路 / シルピンスキーカーペット / abc gasket / infinitely ramified fractal

【研究成果の概要】

本研究の短期的な目的は、くりこみ力学系の軌道の大局的構造の追跡という観点からフラクタル上の確率モデルの等方性の回復の研究を進めることであるが、究極の目標は、数理物理学、特に場の量子論におけるくりこみ群の方法を念頭に置いて、確率モデルの漸近的性質の解析手段の手がかりを見いだすことである。
本研究期間の主要な研究成果は以下の通りである。
1 Sierpinski gasket上の漸近一次元拡散に関するくりこみ群による解析を、abc-gaskets及びscale-irregular abb-gasketsに拡張した。これらは局所的に非等方な拡散が大局的に別の方向に一次元的に拡散するという意味で等方性の回復が起こらない例、および、完全な自己相似性を欠く例である。同様の解析を、より難しいinfinitely ramified fractalの典型例Sierpinski carpetの非等方拡散に適用して等方性の弱い回復を証明した。
2 場の量子論の特徴的な数理現象としてのchiral U(1)anomalyを第一原理から導出した。Wilson項を持つ格子場の量子論の連続極限として厳密に証明したのは世界で初めてである。
3 Y.Kasaharaによるタウバー型定理を援用して独立確率変数列の重み付きの和に関する極限定理を導き、これをゼータ関数の値分布の具体的漸近評価に応用した。
4 2N-2個の実バラメーターを持つface modelに対するYang-Baxter方程式のelliptic solutions,およびこのface modelとBelavinのZ_N-symmetric vertex modelのintertwining relationを得た。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】08640252 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ディリクレ形式 / フラクタル / 漸近一次元拡散 / 非等方性 / くりこみ群 / 電気抵抗回路 / シルビンスキーカーペット / infinitely ramified fractal

【研究成果の概要】

本研究の目的は,フラクタル特にSierpinski carpetに代表されるinfinitely ramified fractals.の上の非等方拡散の等方性の回復を調べることであった。
この問題は,フラクタル上の拡散の一意性やhomogeniz ationの問題の解決に必要な要素として知られる重要な問題であり,finitely ramified fractalに関しては著者を含めて多くの結果が得られていたが,infinitely ramified fractalsでは問題が格段に難しくなる.Fini tely ramified fractalsと同様,infinitely ramified fractalsでも等方性の完全な回復を予想するが,現時点では困難な問題であるので,パラメータについて一様な漸近的評価(弱い意味の等方性の回復)を目標とした。
前フラクタル図形(最小単位を持ち,拡大する方向に自己相似な図形)の一つ,pre-Sierpinski carpetの上の非等方拡散を考える.この拡散の漸近的性質を特徴づける有効抵抗は,非等方拡散の場合はx軸方向とy軸方向で異なり,その比が非等方性を測る一つの重要な量となる.Pre-Sierpinski carpetをSierpinski carpetに近づけていくときの有効抵抗の比が漸近的に有界であることを本研究で証明し,これによって,等方性の弱い意味での回復が証明できた.
証明は,フラクタルに特徴的な自己相似性を生かして,問題を再帰不等式に帰着させて完成した.この再帰不等式は有効抵抗を変分問題によって表現したときの試行関数を再帰的に構成することで証明した。より簡単な境界条件に対応する二つの調和関数を適切に組み合わせて,本来問題となる境界条件に対応する変分問題の試行関数を得た。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1996

【配分額】500千円 (直接経費: 500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07640279 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ディリクレ形式 / フラクタル / 漸近一次元拡散 / 非等方性 / くりこみ群 / 電気抵抗回路 / シルピンスキーカーペット / infinitely ramified fractal

【研究成果の概要】

本研究の目的は,フラクタル,特にinfinitely ramified fractal,の上の非等方拡散の均質化,あるいは等方性の回復,を調べることであった.この問題は,フラクタル上の拡散の一意性やhomogenizationの問題の解決に必要な要素として知られる重要な問題であり,finitely ramified fractalに関しては著者を含めて多くの結果が得られているのに対して,infinitely ramified fractalでは全く手がつけられていなかった.Infinitely ramified fractalのもっともよく知られた例であるpre-Sierpinski carpetの上の有効抵抗の非等方性の漸近的な振る舞いに関して,本研究によって次の成果を得た.
1.Finitely ramified fractalsの場合と同様,等方性の完全な回復を予想するが,現時点では困難な問題である.パラメータについて一様な漸近的評価(弱い意味の等方性の回復)を目標とするべきであることを決定した.
2.フラクタルに特徴的な自己相似性を生かして問題を再帰不等式に帰着させるのが自然な発想である.既に等方的有効抵抗についてはBarlow-Bassの再帰不等式が知られていた.この再帰不等式も非等方的な場合に拡張できると考えられるが,弱い意味の等方性の回復を証明するためには必要ないであろうという結論を得た.むしろ,非等方性の強い,Barlow-Bass型不等式が悪い評価になっているパラメータ領域で有効な,別の再帰不等式群が重要であると考える。このような不等式は有効抵抗を変分問題によって表現したときの試行関数を再帰的に構成することで得られる.技術的には,変分問題のdmainに入るような試行関数を構成することに問題が帰着されることが分かった.

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1995

【配分額】600千円 (直接経費: 600千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】06740142 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

セルフアヴォイディングウォーク / 自己回避確率過程 / フラクタル / くりこみ群 / 臨界現象 / リヤプノフ関数 / 漸近評価 / 熱力学的極限

【研究成果の概要】

本研究の目的は,d-次元pre-sierpinski gasket上のself-avoiding walk(自己回避確率過程)の諸性質を調べることであった。本研究によってd-次元pre-Sierpinski gasket上のself-avoiding walkに対応するくりこみ群の,斥力potentialに対応する不変部分空間の決定と、自明でない固定点の存在が証明された。また,くりこみ群に対するこの部分空間内での自然なLyapnov関数の決定について予備的な考察を得た。
Self-avoiding walkの漸近的評価の精密な決定はくりこみ群力学系の大局的なtrajectoryの不動点への収束と,不動点付近での力学系の定量的評価が必要である。後者は力学系の不動点近傍の比較的一般的な問題だが,前者は個別の問題毎に調べる必要があり,self-avoiding walkに対応するくりこみ群に対しては未解決である。これに関して,本質的な鍵となるLyapnov関数を構成できる可能性を得た。Potentialの斥力性を表すparameter空間上のある関数がLyapnov関数になることが予想される。これは今後の課題である。不動点への収束やLyapnov関数の存在がある弱い条件の下で広い範囲の力学系に対して成立する可能性を,備品として備えた電子計算機によって検討することができた。これが以上の考察を行う上で重要な役割を果たした。
self-avoiding walkはマルコフ性を持たない確率過程の典型的な例として特徴的かつ極めて重要な数学的対象であり,また物理や化学をはじめとする諸科学への応用範囲も広い。マルコフ性に依存しない確率過程の解析方法の開発は21世紀の確率過程論の大目標であるが,これまでの進歩は極めてわずかであった。マルコフ性に依存しない解析方法としてのくりこみ群力学系による解析を進展させ,一層の発展の可能性を示した点で成果があった。

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1994

【配分額】1,000千円 (直接経費: 1,000千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05740121 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / フラクタル / 漸近一次元拡散 / ランダムウォーク / くりこみ群 / ランダム媒質 / 分枝過程

【研究成果の概要】

本研究の目的はフラクタル上の拡散過程の新しい構成方法、即ち我々が漸近一次元拡散と呼ぶ方法の開発であった。
本研究によって、我々が以前導入したabc-gasketsというフラクタルの族について、その上の漸近一次元拡散の存在を数学的に証明した。この成果により、この方法の開発に成功し、かつこの方法が既存の唯一の方法である固定点理論に比べて有効であることを明らかにした。
本研究は次のような特徴がある:
1.既存の固定点理論が持つ制約、即ち対応するくりこみ群に非退化固定点がないフラクタルの上の拡散が構成できないこと、が漸近一次元理論では生じない。原理的に広い範囲の図形に対して拡散の存在が言える。
2.容易軸(拡散しやすい方向)を持つ媒質中にランダムな障害物があるときには拡散が等方化する可能性を数学的に具体的に示したモデルになっている。これは障害物のない空間では起こり得ないのでフラクタルの研究によって見いだされた新しい可能性である。
3.漸近一次元拡散の構成は、対応するくりこみ群の分析に基づいてその存在の可能性を着想した。くりこみ群の描像は来世紀の数学および物理学において普遍的な概念として定着するべきものであり、本研究はその概念のフラクタル上の拡散における展開の具体例を与える。
4.くりこみ群の分析から拡散の構成に至る過程で多種粒子非定常(特異的)環境分枝過程の極限定理が本質的な役割を果たす。このように特異的な分枝過程の研究はこれまで動機がないためか例がなかった。本研究は分枝過程という大きな既存の分野に新しい研究動機を与える

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1993

【配分額】400千円 (直接経費: 400千円)