【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】20340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

スケーリング / 双対変分構造 / 爆発 / 凝縮 / 量子化 / 点渦乱流 / 走化性 / 熱弾性 / 記憶形状物質 / 競合的走化性 / Lotka-Volterra系 / 点渦乱流平均場 / Gel’fand 方程式 / 退化放物型方程式 / Smoluchowski-Poisson方程式 / 量子化爆発機構 / 解の爆発 / 点渦乱流平均場方程式 / 漸近的非退化性 / 粘弾性記憶形状合金 / 圧縮性流体 / Hadamard変分 / 非線形現象 / 変分構造 / 自己組織化 / 特異性 / 非線形スペクトル力学 / 臨界指数 / タイプIIの爆発レート / 粘弾性熱方程式 / 腫瘍形成 / 質量量子化 / 循環的階層 / 双対変分原理 / 臨界ソボレフ指数 / コラプスの衝突 / サブコラプスの生成 / 量子化する爆発機構

【研究成果の概要】

多数の粒子や渦点などの平均場運動を記述する数理モデルには, 対象や階層を越えた共通の数学構造が存在する. 本研究課題では, スケーリングについて不変な性質をもち, 場と見なされる変数を介在した相互作用が変分構造で規定されている一連の非線形偏微分方程式群に着目した. 凝縮や平均化など, モデルが記述する現象を厳密に証明し, 同時に多種間の相互作用や, 強い非線形化での大域的力学系を解明する新しい数学的方法を開拓した

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2008 - 2012

【配分額】13,390千円 (直接経費: 10,300千円、間接経費: 3,090千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】16340047 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形問題 / 平均場階層 / 解の爆発 / 変分構造 / 走化性 / 自己相互作用流体 / 自己双対ゲージ理論 / 定常乱流 / 非線形倫微分方程式 / 凝縮 / コラプス / 質量量子化 / 非平衡熱力学 / 自己重力流体 / 双対変分原理 / 平均場 / 爆発 / 臨界指数 / Trudinger-Moser不等式 / 非局所項 / 無限時間爆発 / 臨界現象 / スケーリング / 双対変分構造 / 力学系 / 圧縮性流体 / Gibbs測度 / 渦渡平均場方程式 / 対称化の方法 / 走化性方程式 / 自己相似解 / 界面 / Ginzburg-Landau理論

【研究成果の概要】

本研究では自己相互作用に由来する非線形性をもち,多粒子系非平衡平均場を記述する偏微分方程式の解に現れる爆発や界面などの臨界現象を,これらの方程式が置かれている統計力学的階層に内在する数学的原理に従うものと捉え,統一的に解析することによって,様々な分野の非線形性が共通にもつ現象を明らかにすることを目指した.扱った問題は定常乱流高エネルギー平均場,ゲージ場,リッチフロー,非線形放物型方程式,自己相互作用流体,物質・エネルギー輸送,腫瘍形成,相分離・相転移・記憶形状に関する非平衡熱力学である.この中で,特に細胞性粘菌の胞子形成を記述するモデルとして導入された走化性方程式を,質量保存と自由エネルギー減少という熱力学的法則を記述する物質輸送の基礎方程式であるSmoluchowski-Poisson方程式として捉え,様々な革新的な解析方法によって量子化する爆発機構を解明したことが,研究全体の中で大きな節目となった.これによって「スケーリングに基づく爆発包」「双対変分原理による定常・非定常状態の記述」「定常状態による非定常状態の階層的制御(非線形スペクトル力学)」という数学的指針が得られ,臨界現象に関する非平衡熱力学の現象論方程式の定常解の構造とその安定性,ゲージ理論や乱流理論に現れる定常平均場方程式や臨界Sobolev指数放物型方程式に出現するsub-collapseの形成とcollapseの衝突,非局所項放物型方程式やnormalized Ricci flowにおける量子化爆発機構の変形,高次元の定常状態質量量子化とその応用としての退化放物型方程式,Euler-Poisson方程式など,広範囲の数理的問題に共通する構造と現象を解明することができた.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2007

【配分額】10,420千円 (直接経費: 10,000千円、間接経費: 420千円)