【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】21540209 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

量子可積分系 / ベーテ仮説 / 幾何クリスタル / トロピカルR / 双線形化 / ヤン・バクスター方程式 / 量子群 / 四面体方程式 / 量子R行列 / ソリトン / 逆散乱法 / 超離散

【研究成果の概要】

多成分非対称排他過程のマルコフ行列のスペクトルの構造解明,量子可積分系の転送行列の満たすT-system, Y-systemの拡張,周期性予想とダイログ予想の解決,周期箱玉系の分配関数のフェルミ公式の導出,高階ランク版の解, D型結晶基底に付随する一般化エネルギーの理論, 3次元可解模型によるスピン表現の量子R行列の導出を行った.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)

【研究分野】数理物理・物性基礎

【研究領域課題番号】19540393 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / ソリトン / ベーテ仮説 / 量子群 / ヤン・バクスター方程式 / 箱玉系 / 周期性予想 / クラスター代数 / 非対称排他過程

【研究成果の概要】

超離散ソリトン系の代表的なモデルである箱玉系について, 以下の結果を得た. 多状態かつ箱の容量が任意に非一様な無限系, 2状態で箱の容量が任意で一様な周期系のそれぞれについて, 初期値問題の解のアルゴリズムおよび明示式を得た, 特に明示式として, ソリトン理論や代数曲線の理論に登場するタウ関数やリーマンテータ関数の超離散類似を初めて導出した. この他, T-systemの周期性や多状態非対称排他過程のスペクトルについても結果を得た.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2008

【配分額】1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】16540182 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / アフィンワイル群 / パンルヴェ方程式 / モノドロミー保存変形 / 量子群 / Schur関数 / ソリトン / ワイル群 / アフィンリー環

【研究成果の概要】

主として場の理論に付随して現れる古典および量子可積分系とその離散化について,主に対称性の観点からの普遍的理解をめざし,新たな構造や視点を得ることが本研究課題の主目的であった.これに対し,各研究者は互いに議論しつつ以下のような研究を行った.
長谷川は,パンルヴェ方程式を含むアフィンワイル群対称性をもった方程式について,その量子差分化の研究を行った.とくに,梶原-野海-山田による差分パンルヴェ方程式の解空間へのアフィンワイル群作用の量子化について考察を深めるとともに,また神保と坂井による第6パンルヴェ方程式の差分化に対し,その量子化を構成した.
黒木は,モノドロミー保存変形の理論の量子化と差分化について一般的に考察した.梶原-野海-山田によるアフィンワイル群作用の長谷川による量子化について,dressing chainおよび幾何クリスタルとの関連の観点からの再構成を行うとともに,共形場理論のW代数による変形の立場からの考察を行なった.
山田は,山田は可解格子模型に特有の構造のトロピカル化について考察し,種々の組み合わせ的構造との対応を示すとともに,離散パンルヴェ系の超幾何解について,とくに楕円関数版の場合を研究した.また退化した場合も含めて,q-Painleve方程式の超幾何解を構成した.更に,そこで用いた方法を微分Painleve方程式のHamiltonianに応用した.
池田はソリトン系の簡約について考察し,その中でシューアのQ関数に関する組み合わせ的等式をフェルミオン・フォック空間を用いて示した.さらに同変コホモロジーを用いてシューアのQ-関数を捉えることに成功し,トーラス作用の固定点への局所化によって特殊多項式を研究するという視点が実り多いものであるということが再認識できた.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2004 - 2005

【配分額】3,600千円 (直接経費: 3,600千円)

【研究分野】数理物理・物性基礎

【研究領域課題番号】15540363 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 可解格子模型 / ヤン・バクスター方程式 / ベーテ仮説 / 量子群 / 結晶基底 / 超離散 / 箱玉系 / ソリトン / セルオートマトン

【研究成果の概要】

量子群の結晶基底に付随する1次元可積分セルオートマトンとそれに関連する諸問題について,大きな進展を達成できた.
3年間で得られた成果(1)-(6)の概要を以下に述べる.
(1)D型のトロピカルRについて,双線形形式を見出し,DKP階層のタウ関数がその解となることを証明した.系統的な退化により,C型やねじれA型のアフィンリー環についても同様の結果を得た.
(2)箱の容量の大きいセルオートマトンについて,時間発展を対生成・消滅する粒子・反粒子系の運動として明示的なアルゴリズムで記述することに成功した.
(3)パラメーターqが0のとき箱玉系になるような量子的力学系を頂点模型の極限操作から構成した.量子的時間発展を粒子の種類ごとの運作用素に因子化し,2種類のノルムを導入してその性質を調べた.
D型の場合についても同様の結果を得た.
(4)反射壁のある箱玉系を構成した.ソリトンの自由度を抽出し,散乱規則,反射規則を明らかにした.境界可積分条件の解を見出し,トロピカル化した設定で反射方程式を証明した.
(5)フェルミ公式の証明の核となるKKR全単射について,結晶基底の組み合わせRだけを用いた記述を得た.
非例外型の全てのKKMクリスタルについても同様の予想を得た.これは箱玉系の逆散乱形式に相当する.
(6)周期箱玉系をKKMクリスタルやA型のKRクリスタル一般に拡張し,状態数と一般周期公式の予想を得た.
A型で最も簡単な場合にはq=0とq=1のベーテ仮説を組み合わせることにより,初期値問題を逆散乱法により完全に解くことに成功した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】1,900千円 (直接経費: 1,900千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】04640130 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

スペクトル / 散乱理論 / 波動作用素 / 準古典近似 / ソリトン / 有限要素法 / 数値解析 / 量子群

【研究成果の概要】

科学研究費補助金(一般研究C)「スペクトル・散乱理論の研究」によって得られた成果を箇条書きにする。
1.多体Schroedinger作用素の散乱問題において波動作用素の完全性に関して北田均等によって短距離系に対する波動作用素の完全性の新たな証明が得られ,遠距離系に対する完全性の証明にも重要な進展があった。
2.Schroedinger作用素の散乱・resonanceの問題に関して,resonanceのおよびtime-delayの準古典近似の問題が中村周等によって研究され準古典領域におけるresolvent等の振る舞い明確にされた
3.Schroedinger作用素の波動作用素あるいはSchroedinger作用素の関数のSobolev空間あるいはBesov空間における写像としての性質が中村周,谷島賢二等によって研究され,種々の空間の間の有界性等多くの性質が明らかになった。これらの研究は非線形微分方程式のこれからの研究に大いに役立つものと期待される。
4.スペクトルの逆問題に関連した研究が薩摩順吉等によって進められ,soliton方程式,非線形波動方程式のの解の構造,あるいは完全積分系に関する多くの新たな知見が得られた。
5.スペクトルの数値解析に関連して有限要素法の数値解析の研究が菊地文雄,金子晃等によって進められ,多くの新たな知見が得られた。
6.その他,分担者たちは多くの関連した研究を進展させた。主なものは野海正俊による量子群の研究,小林俊行による非可換調和解析の研究,山崎満によるBoltzmann方程式の研究,木村弘信による超幾何関数の研究及び太田啓史・古田幹雄による多様体の微分構造の研究等である。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1992

【配分額】2,000千円 (直接経費: 2,000千円)