【研究領域課題番号】20K20877 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

クラスター代数 / 箙変異 / 分配級数 / 量子不変量 / ペンタゴン関係式 / 指標公式 / 量子ダイログ / 箙 / 変異 / 分配関数 / 三角圏 / 不変量 / 幾何学 / 量子化 / 双対性 / 低次元トポロジー

【研究成果の概要】

箙 (quiver) とその変異 (mutation) は，クラスター代数とともに，可積分系・低次元トポロジー・表現論・代数幾何学・WKB 解析などさまざまな分野に共通して現れる構造として注目を集めている．特に，箙の変異列 (mutation sequence) とゲージ理論や３次元双曲多様体の関連が提唱され，その不変量を数学的に厳密に解析する手段の開発が必要となった．

私は寺嶋郁二氏(東北大学)との共同研究において、与えられた箙変異の列γ (quiver mutation loop = クラスター代数の exchange graph 上のループに相当)に対し、分配 q 級数 Z(γ) と呼ばれる母関数を定義した。これは、以下のような著しい性質を持つ。(1)Z(γ)は箙変異の列γの反転操作や巡回シフトのもとで不変であり、圏論的なモノドロミーの不変量と考えられる。(2) 箙変異の列γの変形に対し、量子ダイログと同様なペンタゴン関係式を満たす。(3) ADE型ディンキン図形やそのペアから自然に定義される分配 q 級数は、アフィン・リー環に附随するcoset 型共形場理論に現れるフェルミ型(準粒子型)指標公式に一致し、適当なqベキ補正のもとで Z(γ) は保型形式となる。(4) reddening sequence というクラスの箙変異列γに対し、分配級数は量子ダイログの積で表され、combinatorial Donaldson-Thomas invariant と一致する。

現在は分配級数の考え方を発展させ，３次元多様体の量子不変量を，理想単体分割のデータから直接的に構成する研究を進めている。

【研究種目】挑戦的研究(萌芽)

【研究期間】2020-07-30 - 2023-03-31

【配分額】6,500千円 (直接経費: 5,000千円、間接経費: 1,500千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】16K13752 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

箙 / 変異 / クラスター代数 / 可積分系 / 低次元トポロジー / 組合せ論的データ / 分配級数 / 双対性 / 分配関数 / 三角圏 / 不変量 / 弦理論 / 安定性条件 / 幾何構造

【研究成果の概要】

箙(quiver)とその変異(mutation)は，近年注目を集めている．私は寺嶋郁二氏(現東北大)との共同研究で、箙変異の列に対し、次のような著しい性質を持つ分配級数を定義した。箙変異の列の反転操作や巡回シフトのもとで不変であり、圏論的なモノドロミーの不変量を与える。変異列の変形に対しペンタゴン関係式を満たす。ADE型ディンキン図形から自然に定義される分配級数は、共形場理論の指標公式に一致し、適当なqベキ補正のもとで保型形式となる。reddening sequence 箙変異列に対しては量子ダイログの積で表され、combinatorial Donaldson-Thomas 不変量を再現する。

【研究の社会的意義】

箙(quiver)とその変異(mutation)は，クラスター代数とともに，可積分系・低次元トポロジー・表現論・代数幾何学・WKB 解析などさまざまな分野に共通して現れる構造として注目を集めている．特に，箙の変異列 (mutation sequence) とゲージ理論や３次元双曲多様体の関連が提唱され，その不変量を数学的に厳密に解析する手段の開発が必要となった．分配q級数や分配関数は組合せ論的データのみから定義され、箙が表す数学的対象の詳細には依らないので、双対性の背後にある共通の性質を追究する上で役立つと期待される。

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2016-04-01 - 2020-03-31

【配分額】3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】24340004 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

高次元Auslander-Reiten理論 / τ傾理論 / 導来圏 / Cohen-Macaulay加群 / n無限表現型 / Geigle-Lenzing完全交叉環 / 団理論 / 非可換特異点解消 / 整環 / 前射影多元環 / 三角圏 / τ-rigid加群 / 団代数 / 非可換クレパント特異点解消 / 傾対象 / 準傾退化 / Calabi-Yau退化 / 団圏 / τ rigid有限多元環 / 台τ傾加群 / 重み付き射影直線 / 傾理論 / 有限表現型 / 標準多元環 / n正則加群 / 変異

【研究成果の概要】

整環の表現論を, 主としてAuslander-Reiten理論と傾理論の観点から研究した. 主要な成果は以下の3つであるが, その他にも様々な研究を行った.
(1) 傾理論を変異の観点から補完するτ傾理論を発見した. (2) 高次元Auslander-Reiten理論で基本的なn無限表現型多元環を導入して, 基本的性質を調べた. (3) 重み付き射影直線の高次元化として, Geigle-Lenzing完全交叉環を導入して基礎理論を構築した.
これらの研究成果を合計22本の論文として出版し（全て査読有り）, 国内外の研究集会やセミナーで64回の講演を行った.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2012-04-01 - 2016-03-31

【配分額】17,940千円 (直接経費: 13,800千円、間接経費: 4,140千円)

【研究分野】素粒子・原子核・宇宙線・宇宙物理

【研究領域課題番号】23654079 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

素粒子(理論) / 数理物理学 / 分配関数 / 不変量 / 変異 / 箙 / 弦理論 / 三角圏 / 双対性 / クラスター代数 / ペンタゴン関係式 / 量子ダイログ / AdS/CFT対応 / ゲージ理論 / 重力理論 / 結び目 / ホロノミー表現 / 量子不変量 / AdS/CFT 対応

【研究成果の概要】

双対性の解明は弦理論の最重要な課題の一つであり、安定状態の数え上げの母関数を知ることが極めて重要である。最近、私は寺嶋郁二氏(東京工業大学)との共同研究で、クラスター代数の exchange graph 上のループを表す箙変異の列 (quiver mutation loop) に対し、分配 q 級数と呼ばれる母関数を定義した。これはペンタゴン(五角形)関係式や共形場理論のフェルミ型指標公式との関係、保型性などの著しい性質を持つ。分配 q 級数は組合せ論的データのみから定義され、系の詳細には依らないので、双対性の背後にある共通の性質や量子化の機構を追究する枠組みとして役立つと期待される。

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2011 - 2013

【配分額】3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)