【研究領域課題番号】22H00099 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 複雑系 / 数理物理 / 解析学 / ポテンシャル論

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2022-04-01 - 2027-03-31

【配分額】41,470千円 (直接経費: 31,900千円、間接経費: 9,570千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】17H01093 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 複雑系 / 数理物理 / 解析学 / ポテンシャル論 / 統計力学

【研究成果の概要】

１。熊谷とCroydonは、Barlow氏と共同で二次元一様全域木の上のランダムウォークの熱核評価に現れる振動等の詳細な性質を調べ、さらに熱核のannealedの評価における非対角部分の指数がquenchedのそれと異なることを解明した。熊谷はまた、拡散項とジャンプ項からなる一般の対称確率過程について、対応する熱方程式の解が放物型ハルナック不等式や精密な熱核評価を持つための必要十分条件を導き出した。本研究は、対称拡散過程や飛躍型確率過程の場合に進められてきた安定性理論の統一版であると言える。この結果は、Z.Q. Chen氏とJ. Wang氏との共著論文にまとめ、2020年度に雑誌に掲載された。
２。木上は、自己相似集合の Ahlfors regular conformal dimensionと対応する無限グラフの parabolic index の関係および自己相似集合上への p-energy の構成について研究し、parabolic index とAhlfors regular conformal dimensionの間の不等式などを示した。
３。相川は、intrinsic ultracontractivity の研究を応用して、Lipschitz領域やJohn領域をベースにするシリンダー上の熱方程式の優解の可積分性を与えた。これは正値優調和関数の可積分性に関する結果の放物型拡張である。
４。福島はS. Junk氏と共同で，ランダム媒質中の向きづけられた高分子模型の零温度極限の研究を行い、自由エネルギーの連続性を示した。舟木は、Glauber-零レンジ過程から平均曲率運動の導出を行った。これは非線形な拡散項を経由するため偏微分方程式の観点からも新しい結果である。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2017-04-01 - 2022-03-31

【配分額】43,810千円 (直接経費: 33,700千円、間接経費: 10,110千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】16H03938 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / ラフパス / 非整数ブラウン運動 / 確率微分方程式 / ラフ微分方程式 / 近似誤差分布 / 無限次元空間 / 経路依存方程式 / マリアバン解析 / 熱核 / パス空間 / 弱ポアンカレ不等式 / リッチ曲率 / 確率論 / 解析学 / 関数解析学 / 関数方程式論 / 数理物理

【研究成果の概要】

確率微分方程式およびラフパスで駆動される微分方程式の研究を行った。
具体的には、(1)半空間の場合の反射壁の確率微分方程式を含むような経路依存方程式のオイラー近似およびWong-Zakai近似の収束オーダーも込めた研究,(2)非整数ブラウン運動で駆動される1次元確率微分方程式の解の近似誤差分布の漸近挙動の決定, (3)一般の領域で定義された反射壁確率微分方程式や1次元ブラウン運動の場合の最大値過程を含むようなperturbed reflectedSDEを含むクラスのラフ微分方程式の解の存在の証明などの研究を行った.また, (2)の研究の多次元版の研究も行った.

【研究の社会的意義】

確率過程論においては, セミマルチンゲールというクラスの確率過程は基本的かつ重要であり, その解析は伊藤の確率解析としてよく知られている。しかし、一方このクラスに属さない重要な確率過程(例えば非整数ブラウン運動)も数多く、それらの確率過程の解析の重要性は様々なテクノロジーの発展とともにますます高まっている。これらの確率過程の解析においてラフパス解析は必須であり、本研究では、これらの確率過程で定まる微分方程式, Rough differential equationの解の基礎的研究を行った。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2016-04-01 - 2020-03-31

【配分額】8,060千円 (直接経費: 6,200千円、間接経費: 1,860千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26610019 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式論

【研究成果の概要】

Kardar-Parisi-Zhang(KPZ)方程式とは、揺動を伴う界面の成長を記述する非線形確率偏微分方程式である。数学的には発散項を含み不良設定になるが、これを除去する繰り込みの手法がフィールズ賞受賞者Hairerにより提唱され意味付けが可能となった。本研究では、KPZ方程式および多成分がカップルしたKPZ方程式の定常測度を特定し、方程式の時間大域的可解性を示した。さらに、関連する相互作用無限粒子系の行列式構造を新たに見出すなどの研究を行った。

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2014-04-01 - 2017-03-31

【配分額】3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26287014 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式 / 応用数学 / 関数方程式論

【研究成果の概要】

多成分がカップルした KPZ(Kardar-Parisi-Zhang)方程式について、擬被制御解析に基づき定常測度の解析を行い、大域的適切性を示した。さらに、この特異な確率偏微分方程式が複数の保存量を持つ粒子系からスケール極限の下で導かれることを示した。また、確率的揺動項を持つ質量保存Allen-Cahn方程式の鋭敏界面極限、粒子系からの平均曲率運動の導出、方向依存性を持つノイズが加わった平均曲率運動、確率的保存則すなわち1階の非線形確率偏微分方程式、数理遺伝学で用いられる適応力学の数学的正当化、ランダム行列に関連する確率力学、ランダム媒質中のMarkov連鎖の研究等を行った。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2014-04-01 - 2019-03-31

【配分額】15,730千円 (直接経費: 12,100千円、間接経費: 3,630千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】25247007 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理物理 / 解析学 / 複雑系 / 統計力学 / 熱方程式 / 国際研究者交流 / イギリス：カナダ：アメリカ：フランス：中国 / イギリス：カナダ：アメリカ：フランス / イギリス：カナダ：ドイツ：韓国：アメリカ

【研究成果の概要】

ランダムな媒質中のダイナミックスとそのスケール極限について、体系的に解析を行った。大きな成果としては次が挙げられる。i) 境界のあるランダムなコンダクタンス上のマルコフ連鎖について、媒質について確率１での収束定理を広い範疇で証明した。ii) ２次元一様全域木と呼ばれる、スケール極限が共形不変なモデルについて、その上のランダムウォークの部分列の収束性を示し、極限過程の熱核評価を行った。iii) 測度距離空間における飛躍型確率過程に関する熱核評価の安定性を証明した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2013-04-01 - 2017-03-31

【配分額】38,870千円 (直接経費: 29,900千円、間接経費: 8,970千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】22340017 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理物理 / 解析学 / 複雑系 / 統計力学 / 飛躍型確率過程 / 国際研究者交流 / イギリス：アメリカ：カナダ：ドイツ / イギリス：アメリカ：カナダ / 英：米：ドイツ / イギリス:アメリカ:カナダ

【研究成果の概要】

確率論的手法と実解析的手法を融合的に用いることで、複雑な系の上のマルコフ連鎖とその極限過程を統一的に解析する研究を行った。一般論を展開する観点からは、cycle条件を満たす非対称なマルコフ連鎖の熱核の評価とそのスケール極限の解析、測度付き距離空間上の対称拡散過程に関する熱核の劣ガウス型評価と一般化放物型ハルナック不等式の同値性の証明、飛躍型確率過程の収束理論の構築などの成果を得た。具体例の観点からは、樹木上の臨界確率パーコレーションにバイアス付きランダムウォークを走らせた際の漸近挙動、極限過程の考察を行い、またランダムな有限グラフ上のマルコフ連鎖の混合時間のスケール極限に関する成果を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2010-04-01 - 2013-03-31

【配分額】16,770千円 (直接経費: 12,900千円、間接経費: 3,870千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】22244007 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式論 / 応用数学 / 関数方程式

【研究成果の概要】

揺動界面の成長を記述する KPZ 方程式の不変測度の解析を行った。この確率偏微分方程式は発散項を含み、数学的扱いには困難を伴う。動的2次元ヤング図形の非平衡揺動問題を論じ、スケール極限の下で確率偏微分方程式を導いた。自己組織的に集成する生物系に対し流体力学極限の手法を適用し巨視的描像へのリンクを与えた。動的ランダム行列理論において現れるAiry点過程、Ginibre点過程について、無限次元確率微分方程式の一意的強解の存在や堅牢性を示した。その他、パーコレーション、非線形拡散方程式、安定型雑音を伴う確率偏微分方程式等の研究を行った。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2010-04-01 - 2015-03-31

【配分額】41,730千円 (直接経費: 32,100千円、間接経費: 9,630千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】22540205 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

スペクトル統計 / ランダム作用素 / 点過程 / 自己共役性 / 漸近エルゴード性 / 確率エアリー作用素 / 確率論 / スペクトル理論 / ランダム行列 / 数理物理 / 数理物理学 / 準位統計

【研究成果の概要】

(1) 自己共役作用素の離散スペクトルが、あるスケーリングの下に定常点過程の典型的な実現に見えることの数学的定式化として「漸近エルゴード性」という概念を導入した。さらに、ある種の1次元シュレーディンガー作用素のスペクトルについて漸近エルゴード性を証明し、離散型アンダーソン・モデルに対しては部分的な結果を得た。
(2) 半直線上の1次元シュレーディンガー作用素Hで、ホワイトノイズと、正の無限大に発散する一様電場とをポテンシャル項に持つものを考え、ホワイトノイズ項の特異性にもかかわらず、Hが自己共役作用素として実現され、確率1で純離散スペクトルを持つことを証明した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2010-04-01 - 2014-03-31

【配分額】2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)

【研究分野】核融合学

【研究領域課題番号】21560856 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

プラズマ・核融合 / 計算物理 / シミュレーション工学 / 数理物理 / 確率論 / トロイダル磁場リップル / トカマク / α粒子 / 共鳴 / 粒子モンテカルロ / 旋回中心 / 拡散 / ポアンカレマップ

【研究成果の概要】

トカマクにおいてα粒子の閉じ込めは重要である。その解析にはよくLarmor半径を無視した案内中心軌道方程式が用いられ, Larmor軌道中の磁場変化が大きくなる球状トカマクではその影響が無視できなくなる。両者の違いはバナナチップのトロイダル角に現れ,それに伴う現象もずれていたが,基本的な現象としては同じであった。次にバナナ粒子がリップルと共鳴を起こし,拡散を大きくするリップル共鳴拡散の物理機構を,数値解析,理論モデルによって解析した。そして,この拡散は今まで考えられていた共鳴点でのピークではなく共鳴両側にピークを持つM型となり,共鳴時に位相空間に形成されるアイランドに衝突により入りアイランドを飛び越える粒子が拡散を引き起こしていることがわかった。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】21654015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理物理 / 解析学 / 統計力学 / ランダムウォーク / 飛躍型確率過程 / 国際研究者交流 / イギリス:アメリカ:韓国

【研究成果の概要】

本年度行った研究により得られた成果は、以下の通りである。
1. 熊谷は、Croydon氏(Warwick大)、Hambly氏(Oxford大)と共同で、与えられた有限グラフの列に対して、その上の対称マルコフ連鎖の混合時間が収束するための十分条件を与えた。この十分条件は、グラフのグロモフ-ハウスドルフ収束に、熱核の収束の概念を加えた新たな収束概念によって表現することができる。これにより、例えばErdos-Renyiのランダムグラフの臨界確率近傍での最大連結成分上のランダムウォークの混合時間に関する収束定理を証明することができる。この結果は3人の共著論文にまとめ、現在雑誌に投稿中である。
2. 熊谷は、昨年度から継続しているChen氏(Washington大)、Kim氏(Seoul大)との共同研究を論文にまとめ、雑誌に投稿した。その内容は、D次元正方格子上の対称マルコフ連鎖が飛躍型確率過程に収束するための十分条件を、ディリクレ形式の手法を用いて導出するものである。特に、ランダムコンダクタンスモデルへの応用として、2点間のコンダクタンスに長距離相関がある場合に、対応するランダムなマルコフ連鎖がD次元安定過程に収束するための十分条件を与える部分について、昨年度やや曖昧であった条件を明確にした。現在、査読結果を元に改訂版を作成中である。
3. 長田は白井朋之氏(九州大)と共に、Ginibre random point fieldのPalm測度が、もとの測度に対して特異になること、および(任意の相異なる)2点で条件づけたPalm測度は互いに絶対連続になることを示した。

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2009 - 2010

【配分額】3,100千円 (直接経費: 3,100千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21740089 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

関数方程式論 / 解析学 / 確率論 / 数理物理 / 偏微分方程式 / 非線形Schrodinger方程式 / 定常解の安定性 / 変分解析 / 確率微分方程式

【研究成果の概要】

光学ポテンシャル下で捕えられたボース・アインシュタイン凝縮のモデル方程式で, レーザー振動数のゆらぎの影響を考慮した方程式に関し, 確率線形シュレディンガー方程式の基本解を構成することで解の存在を示し, 数学的にモデルの正当化を行った. また, 安定な定在波の長時間挙動が, 時間に関するホワイトノイズから受ける影響を数学的に表現した. 一方で, 中空コア光ファイバーを伝播するレーザーを表わすモデルの高エネルギーモード解の安定性を調べ, レーザーが伝わる媒質中に対称な2点不純物が存在するときの定常波解の対称性の破れを証明した.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】19540157 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率制御 / 最適輸送問題 / 双対定理 / KRP / KRR / log-convexity / 確率論 / 解析学 / 関数方程式 / 変分問題 / 確率最適制御 / 粘性解 / 関数方程 / 統計数学 / 数理物理

【研究成果の概要】

最大従属確率変数列の列の結合分布関数の最大値と最大解,その応用を与えた.Knothe-Rozenblatt Rearrangement (KRR)の一般化とその確率過程版Knothe-Rozenblatt proces (KRP)を定義し, それらの存在, 一意性, 双対定理,微小パラメタを持ったある種の変分問題の最小解の極限としての特徴付けを与えた.KRPの確率流のランダムな確率密度関数の表現定理を与えた. このランダムな確率密度関数の空間変数にKRPを代入したものの対数の平均が凸性を持つことを示した

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2010

【配分額】4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18654018 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理物理 / 熱核評価 / 統計力学 / ランダムウォーク / パーコレーション / 国際研究者交流 / カナダ:アメリカ:イギリス / ランダムウオーク

【研究成果の概要】

本年度行った研究により得られた成果は以下の通りである。二年間という短期間で多くのモデルの解析を行い、当該研究を大きく推進できたと考える。
1.Diamond latticeと呼ばれるグラフ上の臨界確率におけるパーコレーションクラスターを考え、そのスケール極限が連結なクラスターを持つという条件のもとで、クラスター上の拡散過程を構成し、その熱核に関する詳しい評価を得た。特に、スペクトル次元に関する有名なAlexander-Orbach予想はこのモデルでは成り立たないことを証明した。(なお、このモデルでは臨界確率において連結なクラスターが存在する確率が正になる。)このモデルは2次元モデルの簡易化としていくつもの文献に取り扱われているが、臨界確率におけるダイナミックスの解析は本研究が初めてであると考える。現在この結果を、Oxford大学のHambly氏との共著論文として執筆中である。
2.臨界確率における分枝過程の家系図に対応する樹木を考え、そのincipient infinite cluster上のランダムウオークの熱核を研究した。昨年までのこの研究を発展させ、本年は子孫分布が有限な二次モーメントを持たない場合にこの問題を取り扱い、二次モーメントを持つ場合との間で熱核挙動に顕著な違いがあることを解明した。具体的には、体積増大度が大きく異なるため、熱核の対角評価のオーダーが二次モーメントを持つ場合と異なり、特に上述したAlexander-Orbach予想が成り立たないことが示された。(なお、二次モーメントを持つ場合はこの予想が正しいことを昨年我々が証明している。)

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2006 - 2007

【配分額】3,200千円 (直接経費: 3,200千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18340027 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 解析学 / 応用数学 / 数理物理 / フラクタル / 熱核 / 飛躍型確率過程 / 国際研究者交流 / イギリス:ドイツ:ポーランド / カナダ:アメリカ:ドイツ / カナダ:アメリカ:フランス

【研究成果の概要】

フラクタルやランダム媒質を典型例とした複雑な系の上で、熱がどのように伝導するかといった物理現象を解明するため、系の上の確率過程や対応する自己共役作用素の解析を行った.確率過程論と実解析学の手法を融合させる事により、汎用性の高い解析の方法を確立し、いくつかのモデルについて熱核の詳しい評価を与えた.また、シェルピンスキーカーペット上のブラウン運動の一意性という当該分野の20年に渡る未解決問題を、肯定的に解決する事に成功した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】13,570千円 (直接経費: 11,500千円、間接経費: 2,070千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18204007 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 解析学 / 統計力学 / 応用数学 / 数理物理 / 関数方程式論

【研究成果の概要】

界面模型とランダム行列理論に関連する大規模相互作用系に対し、確率解析および非線形偏微分方程式論に基づく研究を行った。特に、壁あるいはピンニングを持つ界面模型について、大偏差原理の速度汎関数が複数の最小解を持つ場合の詳細な解析とスケール極限の決定を行い、さらに2次元ヤング図形の動的模型に対し流体力学極限を証明した。また、ランダム行列理論における動的モデルとしてGinibre干渉ブラウン粒子系を考察し、着目粒子の劣拡散的挙動という際立った性質を発見した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2006 - 2009

【配分額】24,180千円 (直接経費: 18,600千円、間接経費: 5,580千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17540100 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

準位統計 / ランダム作用素 / アンダーソンモデル / 量子カオス / ゴルトン・ワトソン樹形図 / 分枝過程 / 数理物理 / 確率論 / unfolding / Galton-Watson樹形図 / 局所極限定理

【研究成果の概要】

本研究では点過程論の立場からランダム作用素のスペクトルの統計的な揺らぎの問題に対して一般的なアプローチを試みるとともに、ランダムなシュレーディンガー作用素の準位統計について具体的な研究を行った。また、これらと並行してランダム行列のトレースのモーメント評価の問題から派生して、ランダムな樹形図に関する確率論的な研究を行った。主な研究成果は次のとおりである。
1.エネルギー準位統計において量子ハミルトニアンのスペクトルを定常点過程の典型的な実現とみなすために行われるunfoldingという手続について、その数学的な定義を定式化した。
2.差分型のランダムなシュレーディンガー作用素について、unfolding後のスペクトルがポアソン点過程の典型的なサンプルに近づくことの証明を試みた。その結果、異なる2つの区間が作用素の固有値を同時に含む確率を評価することに証明が帰着することを明らかにした。しかしながら、その確率の評価ができなかったため、証明は現在のところ未完成である。
3.離散時間分枝過程の軌跡として得られるランダムな樹形図について、子供の数がk=0,1,,,,であるような頂点の個数の分布に関する局所極限定理を証明した。
4.各頂点が、空間的位置、年齢、種別などを表す「印」(mark)を持つような樹形図の空間に確率測度を導入するための一般的な定理を証明した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 300千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05302012 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 確率解析 / マルコフ過程 / エルゴード理論 / 無限粒子系 / 流体力学極限 / 数理物理 / 数理生物 / 大偏差原理 / フラクタル / 多様体 / ウィーナー空間

【研究成果の概要】

平成5年度からの2年間にわたり、「確率論の総合的研究」をテーマに確率論およびその関連領域における諸問題に取組み、研究分担者および日本数学会確率論部門の多くの研究者の協力を得て共同研究を遂行した。まず近代確率論研究の基礎である確率解析の理論の深化を目指した2つのシンポジューム「Wiener空間上の解析学」、「確率解析」を組織した。ここでは伊藤清、福島正俊により創始された「確率解析」「Dirichlet空間の理論」の新しい展開をめざす先駆的な研究成果が数多く生み出した。また解析学・幾何学に関連する話題を中心とした「マルコフ過程に関連した解析学」「多様体上の確率解析および大偏差原理」と題するシンポジュームを解析学・幾何学の研究者を招いて開催し、そこでの討論をもとに新しい方向の研究が生まれた。物理学・生物学などの自然科学への確率解析の応用をめざして、「数理物理、数理生物における確率解析」「フラクタルとその周辺」「無限粒子系、流体力学極限とその周辺」と題するシンポジュームを開催し、物理学や生物学の研究者との研究交流で新しい諸問題を発掘した。さらに、制御理論を中心とする工学、最近注目されつつあるファイナンス理論などの数理経済学、さらには社会学への数理的アプローチにも確率解析の手法が有効であり、それらに関する諸問題を議論するためのシンポジュームとして「確率論と中心とした数理モデルの理論と実際」「確率解析の応用」を開催した。そのほかにも確率論全般にわたる最新の結果を発表・討論する場として「サマースクール」「Gauss過程,安定過程とその応用」「確率過程とその周辺」「エルゴード理論とその周辺」などの研究集会を開催し多大の成果をあげた。その成果についての詳細は研究成果報告書として出版した。

【研究種目】総合研究(A)

【研究期間】1994

【配分額】18,500千円 (直接経費: 18,500千円)