【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】17K05325 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理物理 / 偏微分方程式論 / シュレーディンガー方程式 / 散乱理論 / スペクトル理論 / 差分作用素 / 閾値レゾナンス / 偏微分方程式 / 多体問題 / 関数解析学 / 関数方程式論 / 解析学 / 幾何学

【研究成果の概要】

当該年度には主に以下の2つの研究を行った．
1. 離散Schrodinger作用素に対する基本解の構成
一般次元超立方格子上の離散Laplace作用素に対し，組み合わせ論的な方法を用いて，すべての基本解を構成することに成功した．基本解は一般に一意ではなく，そのうちで無限遠方において適切な漸近挙動を持つもの（格子Green関数）が物理的な意味を持つ．低次元空間の場合，さらに付加的な情報を用いることで，基本解の集合から格子Green関数を抜き出すことができ，それは一般に知られているものと一致することが確かめられた．一方で，高次元では対応する付加的な情報を利用することができないため，格子Green関数を抜き出すことにはまだ成功していない．それゆえ，この結果はまだ発展途上と言え，次年度以降にも引き続き研究を進めていく予定である．
2. 複素パラメータに対する指数重み付き極限吸収原理
Euclid空間上のSchrodinger作用素に対し，そのレゾルベントの複素スペクトルパラメータにおける極限吸収原理を示すことができた．レゾルベントを考える関数空間としては指数重み付きAgmon-Hormander空間を用いており，これは最良の空間であると考えられる．証明には，これまでの研究でもたびたび利用してきた交換子の方法を用いるが，非自明な使い方をする箇所があり，一定の新規性があると考えられる．対応するRellichの定理の証明は困難であり，今のところ未完成である．また具体的な応用も今のところ見つかっていない．そのため，この研究もまだ発展途上と言える．次年度以降にも引き続き研究を進めていく予定である．

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2017-04-01 - 2023-03-31

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21740089 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

関数方程式論 / 解析学 / 確率論 / 数理物理 / 偏微分方程式 / 非線形Schrodinger方程式 / 定常解の安定性 / 変分解析 / 確率微分方程式

【研究成果の概要】

光学ポテンシャル下で捕えられたボース・アインシュタイン凝縮のモデル方程式で, レーザー振動数のゆらぎの影響を考慮した方程式に関し, 確率線形シュレディンガー方程式の基本解を構成することで解の存在を示し, 数学的にモデルの正当化を行った. また, 安定な定在波の長時間挙動が, 時間に関するホワイトノイズから受ける影響を数学的に表現した. 一方で, 中空コア光ファイバーを伝播するレーザーを表わすモデルの高エネルギーモード解の安定性を調べ, レーザーが伝わる媒質中に対称な2点不純物が存在するときの定常波解の対称性の破れを証明した.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】07404003 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理物理 / 偏微分方程式 / トモグラフィ / 超函数 / 逆問題 / トモゲラフィ / 複素モーメント問題 / パターン形成 / 非線型非平衡系 / 有限要素法 / セレンディピティ要素 / 双曲型逆問題 / カルレマン評価 / ウェーブレット / 乱流

【研究成果の概要】

偏微分方程式の基礎理論の研究においては,ジェブレイ級の解の接続問題において,接続可能性を方程式の特性帯の重複度とジェブレイ指数に関連付けた新しい結果を得た.
解の漸近挙動・スペクトルの研究では,定数係数線型偏微分方程式が劣指数的増大度の解を持つための条件を追求し,リウビユの定理の拡張を得た.また,枯草菌のコロニーパターン形成過程の数理モデルを提出し,計算機によるシミュレーションにより2次元パターンを再現し,それが相転移的メカニズムで起こることを明らかにした.
さまざまな逆問題の研究では,双曲型方程式に対する逆問題の一意性を係数の正則性を弱めた形で導き,逆問題のリプシッツ安定性を最も望ましい形で示した.また,密度一定の2次元図形について,2方向からの投影データによる再構成問題の一意性が成り立つ場合に,その離散化版の実用的な再構成アルゴリズムを与え,安定なことを示した.一意性が成り立たない場合に適当な重み函数を見出してそれを最大にする解を計算機により探索し,非常に面白いパターンが得られることを発見した.
偏微分方程式の数値解析的研究では,中厚平板のモデルであるライスナー-ミンドラン平板に対して新しい安定化混合型4辺形有限要素を開発し,ロッキングを起こさずに薄板モデルに漸近することを検証した.また,乱流のシェルモデルにおいて,相似則を満たすカオス解を追跡しリヤプノフスペクトルを得,それが波数空間において特徴的な波数の周辺にのみ大きな値を持つことを見出した.このアトラクタ次元が大きな極限での漸近表式を導き,数値計算との良い一致を検証した.更にスケール変換に対して不変な積分作用素に適合する双直交ウェーブレットを構成し,応用を与えた.また,修正8節点セレンディピテイ要素が3次の補間誤差を持つことを示し,具体的な問題に対する有効性を確認した.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1998

【配分額】37,700千円 (直接経費: 37,700千円)