【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】17204001 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

代数多様体 / 代数的ファイバー空間 / 極小モデル / 標準因子 / 連接層 / 導来圏 / 半直交分解 / フリップ / 極小モデル・プログラム / 単純特異点 / カラビヤウ多様体 / 半正値性定理 / 混合ホッジ構造 / 標準環 / 境界因子 / 対数対 / フロップ / 巨大因子 / 端射線 / termination / abundance / difficulty / 代数的フアイバー空間 / スタック / トーリック多様体

【研究成果の概要】

極小モデル理論において残された予想(フリップの終結予想とアバンダンス予想)の研究を行い、因子の空間の有理多面体への分割構造を中心として結果を得た。とくに、双有理同値な極小モデルはフロップの列で結べることを証明した。また、極小モデル理論における基本的操作と導来圏の半直交分解との対応に注目し、商特異点や単純特異点のみをもつような代数多様体に対して良い導来圏の定義を見出し、極小モデル理論との関係を証明した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】49,660千円 (直接経費: 38,200千円、間接経費: 11,460千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】16340004 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Qコニック束 / K3曲面 / 端末特異点 / 因子収縮射 / フロップ / 複素シンプレクティック多様体 / ファノ多様体 / 極小モデル理論 / 端射線 / del Pezzo曲面 / 逆同伴 / 乗数イデアル / ポアソン変形 / モジュライ空間 / シンプレクテイック特異点 / 変形 / 対数的標準特異点 / b関数 / フリップ / 標準特異点 / general elephant予想 / 因子収縮写像 / 導来圏 / Fano多様体 / Zariski分解 / Chow群

【研究成果の概要】

森はProkhorovと共同で,端末的3次元Qコニック束の底曲面の特異点に関するIskovskikh予想を証明し特異点上のファイバーも分類した.向井は次数24の原始的に偏極付けられたK3曲面の具体的記述を与え、モジュライと普遍族の単有理性も証明した.並河は向井フロップに対して連接層の導来圏の圏同値を明示した.また,射影的複素シンプレクティック多様体について,変形による非特異化可能性とクレパント特異点解消の存在の同値性を示した.中山は代数多様体の因子の数値的研究を出版した.藤本圭男と共同で,次数>1の全射自己写像を持ち小平次元が非負な3次元非特異射影的代数多様体の構造も決定した.川北は,因子を指数>1の点に潰す3次元因子収縮射の明示的研究を出版し,対数的標準性に関する逆同伴定理も証明した.小木曽は,細野,Lian, Yauと共同で,複素射影K3曲面のFourier・向井対の個数を与える明示的公式を示した.複素K3曲面に作用しうる最大の有限可解群も決定した.高木は,端末商特異点のみを持ち、指数>1の第1種3次元ファノ多様体のうち,反標準系に関するgeneral elephant予想が成立するもの全てを分類した.齋藤は,Budur, Mustataと共同で,単項イデアルのb関数に対する組み合わせ論的公式を与え,任意のイデアルに対するb函数を定義し,乗数イデアルとの関係も証明した.阿部は、非特異な代数曲線が結節的曲線に退化するときに行列式束が固定されたベクトル束のモジュライがどのように退化するかを調べた.早川は,指数>1の3次元端末特異点のエコノミカル爆発の存在に関するReid予想を,修正のうえ証明した.海外共同研究者である、松木は川ノ上帆と共同の正標数の特異点解消を目指すプログラムにおいて.不変量を改良し終止予想の回避することに成功し公表した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2007

【配分額】9,200千円 (直接経費: 8,600千円、間接経費: 600千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】14340003 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

極小モデル / 導来圏 / 代数多様体 / 双有理 / トーリック多様体 / スタック / フリップ / フロップ / 極小モデル理論 / グラスマン多様体 / 消滅定理 / 双有理幾何学 / 連接層 / 標準因子 / 双有理同値 / K同値 / D同値

【研究成果の概要】

代数多様体の極小モデルと導来圏の関係を中心に研究した.導来圏はKontsevichのホモロジー的ミラー対称性予想の提唱以来注目を集めているホットな研究対象であるが,極小モデル理論の立場から見ても自然な対象であり,見かけの複雑さの奥に美しい単純さを備えていることがわかってきた.論文「D-equivalence and K-equivalence」(D同値とK同値)においては,二つの代数多様体が同値な導来圏を持つ(D同値)ことと,それらが双有理同値である場合に標準因子(Kであらわす)の共通特異点解消への引き戻しが一致する(K同値)ということとが同値であるという予想を立てた.そして,標準的フリップや3次元の一般のフロップの場合にこの予想が正しいことを証明した.この論文は高く評価され,発表以降多くの文献で引用されるようになっている.Bourbakiセミナーでも,以下に説明する論文とともに紹介された.
極小モデル理論においては特異点を持つ多様体が必然的に現れてくるので,その後の論文では特異点を持った多様体への拡張を考えた.そして,適当な条件の元にDeligne-Mumfordスタックを構成し,拡張した予想を証明した.例えば,トーリック多様体の場合には,完全に予想を証明することができ,極小モデル理論と導来圏の理論の間の関係に見通しを与えることができた.また,Grassmann多様体G(2,4)上の余接束に対して構成されたフロップなどの場合にも予想を証明した.さらに,比較的簡単な構造をもった代数多様体に対して,その導来圏を決定するという問題を考え,トーリック多様体の導来圏は連接層の特異列で生成されるということを証明した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2002 - 2004

【配分額】8,200千円 (直接経費: 8,200千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】11440002 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非消滅定理 / 代数多様体 / 極小多様体 / 半正値性定理 / 藤田予想 / 対数的標準因子 / 消滅定理 / フリップ / 極小モデル / 導来圏 / モジュライ / 特異点 / 層 / オービフォルド / 固定点自由化定理 / ホッジ構造 / 可逆層 / 標準因子 / KLT / 非消滅予想 / 線型系

【研究成果の概要】

まず,完備な正規代数多様体Xとその上の可逆層Lに対して,次のような効果的非消滅予想を考えた:「X上のR因子Bがあって,対(X.B)はKLTであるとし,Lはネフで,さらにL-(K+B)はネフかつ巨大であるとする.このとき,LはOではない正則大域切断を持つ.」そして,Lの数値的小平次元が2以下の場合や,Xが3次元の極小多様体や4次元のファノ多様体の場合に,これを証明した.証明の過程で,以前に証明した代数的ファイバー空間における半正値性定理を対数的な場合に拡張した.以前証明した対数的標準因子の関係式とあわせると,ファノ多様体の梯子の存在などに応用できる.
次に,藤田の自由性予想を一般次元で解決することを目指して,藤田予想の相対版を考えた.そして,相対化した藤田予想も絶対版の場合と同じように対数的標準因子の存在に関する局所的な予想から従うことを証明した.特に,底空間の次元が4以下ならば相対化した予想も正しいことが証明された.この結果を証明するために,ホッジ構造の変形を使って層F上に放物構造というものを定義し,それを使ってFに対するQ因子版の消滅定理の精密化を得た.
さらに,導来圏の理論と層のモジュライの理論を使った新しいアプローチによるフリップの存在問題の研究をした.まず,フリップの存在予想がフロップの存在予想に帰着されることを証明した.また,商特異点を持つ多様体の場合にはフロップによって通常の層の導来圏は必ずしも不変ではないことを示し,そしてそれに代わるものとして,オービフォルド層の導来圏というものを導入し,いくつかの例ではこれを考えればすべてうまくいくことを証明した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2001

【配分額】8,200千円 (直接経費: 8,200千円)