【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】17H02856 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形波動 / 応用数学 / 流体力学 / 数理モデル / 数値解析 / 数値解析・数理モデル / 数値計算

【研究成果の概要】

本研究の目的は，海洋における大振幅波動の本質（非線形性と分散性）をとらえた数理モデルを導出し，その数理解析を行うことである．令和3年度（最終年度）は以下の三つのテーマについて研究を実施した．研究成果は，発表論文6件（査読有5件，国際共著4件），学会発表21件（招待講演2件，国際講演6件）で公表されている．研究の概要は以下の通りである．
1. 数学モデル：(1)水面上に浮体がある場合の浅水波モデルの適切性を示した（井口）．(2)航跡波（一定速度で動く波源から放射される定常波）の定式化と数値計算を行い，非線形性が強いことを明らかにした（片岡）．(3)KP方程式の曲線波ソリトンの高次解を導出し，直線波ソリトンとの相互作用を調べた（太田）．(5)KP方程式の2重線ソリトンの安定性を明らかにした（水町）．
2. 内部波：密度の異なる2層流体の界面波の線形安定性を複素解析の手法を用いて数値的に調べ，Kelvin-Helmholtz タイプの不安定性が支配的であることを示した（村重）．
3. 大振幅・非線形波動の数値計算：(1)鉛直方向に流速が変化するシアー流上で発生する parasitic capillary waves（進行波の前面で発生する波長の短い表面張力波）の特徴を数値計算で明らかにした（村重）．(2)表面波・内部波共存場の孤立波の特徴を，磯部・柿沼モデルの数値計算を用いて示した（柿沼）．(3)津波（地すべり津波，河川を遡上する津波，浅瀬が存在する島嶼に入射する津波）の大振幅・非定常運動の特徴を数値計算で示した（柿沼）．(4)自己適合移動格子（急激に波形が変化する領域で格子間隔を自動的に調節する方法）の一般化（境界条件，時空間変数の全離散化）を行った（丸野）．(5)前進する船の先端付近で発生する砕波の特徴を，Navier-Stokes 方程式の直接計算により明らかにした（日野）．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2017-04-01 - 2022-03-31

【配分額】15,080千円 (直接経費: 11,600千円、間接経費: 3,480千円)

【研究分野】計算科学

【研究領域課題番号】17H02826 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 構造保存解法 / モデル縮減 / 数値計算 / 応用数学 / 数理工学

【研究成果の概要】

本研究課題では，モデル縮減技法を採り入れた新しい構造保存解法の創出を目指した．その結果，シンプレクティックモデル縮減の有効性の検証，それを散逸系に拡張した新しい構造保存モデル縮減法の開発など，目指したとおりの構造保存的モデル縮減手法が得られた．またその過程でポアソン括弧・南部括弧に基づく新しい構造保存解法の開発，動的モード分解など新しいモデル縮減技法に関する理論解析など，いくつかの基礎的知見も得られた．

【研究の社会的意義】

数値解析，とりわけ微分方程式に対する構造保存解法は，現代の科学・工学を支える重要な技術である．本研究は，拡大を続ける現代科学・工学の諸問題に対処するために，この技術をモデル縮減の技法を採り入れて進化させるものである．これにより，従来，既存の構造保存解法では解けなかった大規模問題が解かれることが期待される．また，構造保存解法や動的モード分解などに関する基礎的知見も得られ，数値解析学の前進に寄与した．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2017-04-01 - 2021-03-31

【配分額】17,160千円 (直接経費: 13,200千円、間接経費: 3,960千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】23340023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 数理モデル / 有限体積法 / 有限要素法 / 差分法 / 応用数学 / シミュレーション工学 / シミュレーション科学

【研究成果の概要】

本研究プロジェクトでは，構造保存型の数値解法として理工学各分野で広く応用されている有限体積法に対する数学的な基盤理論の開発とその現実問題への応用を行なった。基礎的な面では、離散ソボレフの不等式、補間誤差不等式の最良定数、離散Rellichの定理、離散最大値の定理、離散微分形式などについて応用指向の進んだ結果を得ることができた。応用面では、細胞性粘菌の数理モデルに対して、構造保存型の有限体積法を開発し、いままで未解決だった離散エネルギー不等式の証明に成功した。また、離散微分形式の応用としてLagrange力学に基づくエネルギー保存型数値解法の有限体積法への拡張を行なった。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2011-04-01 - 2015-03-31

【配分額】14,560千円 (直接経費: 11,200千円、間接経費: 3,360千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】21740064 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

応用数学 / 数値解析 / 有限要素法 / 流体 / 流体力学 / 数値流体

【研究成果の概要】

本研究では,非圧縮性粘性流体の二相問題に対するフェーズフィールドモデルを対象に,有限要素法による数値計算手法の開発と妥当性・正当性の解析を行った.特に,数学的枠組み(数値解析向けの定式化)の研究,および数値実験による発見的考察と結果の検証に最も力を入れた.結果的に,多相流体現象とその数学理論およびその数値計算手法に,今までになかった視点からの新しい寄与をなした.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2009 - 2010

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】19540115 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

応用数学 / 解析学 / 数値解析 / 誤差解析 / 有限要素法 / 不連続ガレルキン法 / 事後誤差評価 / ハイブリッド変位法

【研究成果の概要】

有限要素法に密接に関連する数値計算法として近年注目されている不連続ガレルキン法について,その理論的解析や新しい手法の開発と改良,具体的問題への適用などの研究をし,成果を得た.また,その事後誤差解析に関して,必要とされる誤差定数を何個か明らかにし,その一部について具体的な値や上界を求めた.数値例による検証も実施し,理論結果の妥当性や新たな課題の発見,本手法の可能性などに関する知見を得た.特に,不連続ガレルキン法は,近似関数や要素形状の選択に関して自由度が高く,その点で従来の有限要素法を改良できる可能性があることなども判明した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2009

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】19340022 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

応用数学 / 数値解析 / 多倍長数値計算 / 応用解析学 / 逆問題解析 / 非適切問題解析 / 高精度シミュレーション / 逆Laplace変換 / 数値計算

【研究成果の概要】

多倍長数値計算環境は、先端的な科学・技術を支える新たな研究手法の一つと考えられているが、本課題研究ではこの計算環境の一層の進化とその上での高精度数値計算手法、さらには逆問題・非適切問題解析への適用についての研究を総合的に行い成果を得た。これにより、多倍長数値計算環境の計算力学への適用については、世界をリードする水準の成果が得られた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2007 - 2009

【配分額】18,070千円 (直接経費: 13,900千円、間接経費: 4,170千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】16340024 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

応用数学 / 逆問題 / 非適切問題 / 数値解析 / 多倍長数値計算 / 高精度数値計算 / スペクトル法 / 数値計算 / 多倍長計算 / 偏微分方程式 / 任意精度計算

【研究成果の概要】

本課題研究では、偏微分方程式で記述される逆問題の中で、物理あるいは工学等において意味を応用逆問題に焦点を絞り、非適切問題の数学解析と数値解析の研究を行なうものである。特に将来の実用上の要請を考慮し、大規模な非適切問題の数値解析を高精度に行なうことを一つの目標とし、理論・アルゴリズム開発の他に高速多倍長計算環境の整備も研究対象としていることが特徴とも言える。
逆問題の数値シミュレーションを含む科学技術数値計算では、一般には有限桁の浮動小数点演算によって実数の近似と演算が計算機上で行なわれており、そこではIEEE754の基準により定義される倍精度方式が今日では一般的に利用されておいる。これは、数値計算の一般エンドユーザの利用環境では、10進法で約15桁の精度で近似された実数表現が前提であることを意味する。このため計算機上では丸め誤差は不可避な問題で、実数を厳密(exact)に扱うことは不可能であり、さらに微分方程式等の関数方程式の数値計算では離散化に誤差も当然考慮すべきものである。安定な計算スキームを期待させる適切(well-posed)な問題とは異り、逆問題で代表される非適切(ill-posed)問題では誤差の混入は信頼できる致命的であるが、これまでの非適切問題の数値解析研究では離散化誤差やデータに混入する観測誤差ばかりに議論が制限された嫌いがあり、丸め誤差まで踏む込んだ議論が十分とは言えなかった。本研究は、離散化誤差や観測誤差に関する先行研究を前提に、計算機の丸め誤差の挙動まで考慮し、理論的な考察のみならず、この問題を解決する新たな多倍長計算環境も構築していることが他の研究との大きな相違点である。さらに、高速な多倍長数値計算環境をひとたび導入した場合、函数方程式の離散化の高精度化もこれまでとは違う視点が生まれ、多倍長数値計算環境上での新しい計算手法の開発と確立も図られている。
具体的な成果は、本課題研究の先行研究で設計・実装されている高速多倍長数値計算環境exflibの整備を行ない、特に分担者・藤原宏志氏の研究により、科学技術シミュレーションへの活用を目指して特殊函数の組み込み化を図り、さらにはスーパーコンピュータ上でも稼働する計算環境の開発も行ない、成果を挙げた。また、従来の離散化手法よりも遥かに高精度なスペクトル法系列の離散化手法を多くの問題に適用し、多倍長数値計算環境と組み合わせて数値実験を行ない、提案の有効性を確認した。また、実用面での応用逆問題を意識し、観測誤差も考慮した問題への正則化法の適用も視野に入れた研究を行ない、混入する誤差と正則化パラメータ・丸め誤差の関係についての知見も得ている。
非適切性は問題固有の性質であり、逆問題に限ってみても、問題毎にその非適切性の発現は異っているため、個別の逆問題についての数学解析の研究を本課題研究の基礎研究と位置づけ、解の一意性や条件安定性に帰還する研究を行なった。この研究分担者・山本昌宏氏が逆散乱問題について精密な成果を得ている。また、また応用逆問題を目指して数学解析・数値解析の理論を実用問題に適用するには、実用問題を視野にいれた計算力学的な基礎研究が不可欠であり、分担者毎のテーマに沿って応用逆問題の個別的研究を行なっている。さらに、高速多倍長数値計算環境の将来の応用の一つとして計算機支援証明の研究も取り上げ、精度保証数値計算の研究も課題研究の一環として行ない成果を得た。
なお、この分野でのアジアの研究者の共同研究を強化するため、中華民国(台湾)の研究者との研究交流を図るための日台共同セミナーを中華民国中央研究院数学研究所および台湾大学数学系と定期的に行ない、また、中国・韓国との研究者の交流も図り、将来の研究推進の基礎を築いた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2006

【配分額】16,100千円 (直接経費: 16,100千円)