脈管形成の数理モデルに関する解析的研究
【研究分野】基礎解析学
【研究キーワード】
血管新生 / 脈管形成 / 固形腫瘍 / 崩壊(collapse) / 走化性 / 平行最適化 / 自己組織化 / 非平衡散逸系 / 血管新生方程式 / 固形腫瘍成長方程式 / 隆起(aggregation) / 走化性(chemotaxis) / 接触性(chaptotaxis) / 進行波 / Lyapunov関数 / 腫瘍形成 / 送化性 / 化学的勾配 / 非線形波動方程式 / 無限次元力学系 / reinforced random walk / 爆発機構の量子化
【研究成果の概要】
輸送現象に関して、質量保存と自由エネルギー減衰を実現する数値スキームを開発し、数値解析によってその正当性を数学的に確立した。これに基づいて血管新生に関するRascle方程式の数値シミュレーションを行い、解の集中や減衰する進行波が現れることを発見し、これらを視覚化することに成功した。次に脈管形成に関するOthmer-Stevens方程式について数学解析を行い、空間1次元で解が常に時間大域的に存在すること、原論文で提起されていた問題であるcollapseの形成が空間多次元で起こりうることを証明した。3種の連立系であるAnderson-Chaplain方程式も取り上げ、ヘルダー空間の中で基本定理を確立するとともに、近平衡でLyapunov関数が存在することを見出した。この点に関連して高分子科学の研究者と研究討論を行い、Prigogineの非平衡散逸系での自己組織化を数学的に確立する原理として、進行波とLyapunov関数が混在することがキーポイントであることが明確となり、今後の研究の基本的な指針が得られた。最後に固形腫瘍の数理モデルをとりあげ、強最大原理を用いて解の基本定理を確立するアイデアを得た。計測医療に関わる数値解法アルゴリズムでは、引き続き平行最適化によるプログラミングと数値実験を行い、特に逆源探索問題において逆源の数を時系列データや先験的情報なしに、正確に決める点で強力な汎用性があることを明らかにした。これらの成果は日本応用数理学会年会での数理医学研究部会オーガナイズドセッション、研究部会連合発表会、また藤田保健衛生大学での医学数学シンポジウム等により報告し、関連する研究者と研究討論を行った。また生体間で生命のとる戦略の数理的な意味付けを図るため、ゲーム理論を適用する研究の調査を行い、樹木成長に関する数理モデルの開発と解析、数値シミュレーションを行うための準備的な研究を行った。
【研究代表者】