【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】24654028 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / セルオートマトン / ソリトン / 超離散化 / 保存量 / 非線形波動 / 差分方程式 / 束 / 確率モデル / デジタル / パターン / 超離散化手法（アメリカ）

【研究成果の概要】

離散度合いの異なる非線形に対する共通の数学的解析手法を提案することを目指した．具体的な成果としては，(1)初等的セルオートマトンの時間発展方程式を束演算によって表現し，その初期値問題を解くことによって厳密な一般解を提出した．(2)多近傍セルオートマトンで表される粒子系に対して初期値問題を厳密に解いた．また，高次保存量を有する系を1次保存量を有する系に還元して解析を行った．(3)(2)で得られたいくつかの系に対して保存量を壊さずに確率変数を導入し，基本図の理論式を厳密に導出した．

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2012-04-01 - 2015-03-31

【配分額】3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】21340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

セルオートマトン / 超離散系 / 可積分系 / 箱玉系 / 有限体 / トロピカル曲線 / 特異値閉じ込め / トロピカル / ソリトン

【研究成果の概要】

超離散系とは連続的な方程式から極限操作によって導かれるセルオートマトン系である．可積分性を持つと考えられる超離散系を研究し，(1) 典型的な超離散可積分系である箱玉系の相関関数を求めた，(2)超離散KdV方程式において負のソリトンと呼ばれる特殊な解の構造を明らかにした，(3)超離散パンルヴェ系の解を符号付超離散化により求め，分割数に関する一連の公式を得た，(4)有限体上の可積分系はAGR(almost good reduction)と呼ぶ性質を持つことを示した．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009-04-01 - 2013-03-31

【配分額】15,730千円 (直接経費: 12,100千円、間接経費: 3,630千円)

【研究分野】数理物理・物性基礎

【研究領域課題番号】15540363 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 可解格子模型 / ヤン・バクスター方程式 / ベーテ仮説 / 量子群 / 結晶基底 / 超離散 / 箱玉系 / ソリトン / セルオートマトン

【研究成果の概要】

量子群の結晶基底に付随する1次元可積分セルオートマトンとそれに関連する諸問題について,大きな進展を達成できた.
3年間で得られた成果(1)-(6)の概要を以下に述べる.
(1)D型のトロピカルRについて,双線形形式を見出し,DKP階層のタウ関数がその解となることを証明した.系統的な退化により,C型やねじれA型のアフィンリー環についても同様の結果を得た.
(2)箱の容量の大きいセルオートマトンについて,時間発展を対生成・消滅する粒子・反粒子系の運動として明示的なアルゴリズムで記述することに成功した.
(3)パラメーターqが0のとき箱玉系になるような量子的力学系を頂点模型の極限操作から構成した.量子的時間発展を粒子の種類ごとの運作用素に因子化し,2種類のノルムを導入してその性質を調べた.
D型の場合についても同様の結果を得た.
(4)反射壁のある箱玉系を構成した.ソリトンの自由度を抽出し,散乱規則,反射規則を明らかにした.境界可積分条件の解を見出し,トロピカル化した設定で反射方程式を証明した.
(5)フェルミ公式の証明の核となるKKR全単射について,結晶基底の組み合わせRだけを用いた記述を得た.
非例外型の全てのKKMクリスタルについても同様の予想を得た.これは箱玉系の逆散乱形式に相当する.
(6)周期箱玉系をKKMクリスタルやA型のKRクリスタル一般に拡張し,状態数と一般周期公式の予想を得た.
A型で最も簡単な場合にはq=0とq=1のベーテ仮説を組み合わせることにより,初期値問題を逆散乱法により完全に解くことに成功した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】1,900千円 (直接経費: 1,900千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】15560055 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / セル・オートマトン / 超離散 / Euler-Lagrange対応 / セル・オートマン / Euler-Langrange対応

【研究成果の概要】

バーガースセルオートマトンは交通量モデルとしてよく使われるRule184セルオートマトンを含むことが知られている。またバーガースセルオートマトンは流体力学の流れの場に相当する量に注目したEuler表現の方程式である。ところが最近、Rule184には粒子的な動きに着目したLagrange表現が存在することがわかった。この表現もまたMax-Plus代数を用いて表現され、超離散方程式と深い関連が示唆される。我々は論文"Euler-Lagrange correspondence of cellular automaton for traffic-flow models, J.Matsukidaira and K.Nishinari, Phys.Rev.Lett.Vol.90,No.8,p088701(2003)."において、超離散拡散方程式を通して、Euler表現とLagrange表現を結ぶEuler-Lagrange変換の式を具体的に求めることに成功した。この変換式はMax-Plus代数とStep関数の間に成り立つ新たな代数的公式を発見することによって導くことができたものである。我々はこれをさらに多値・多速度交通流モデルへ適用し、Fukui-IshibashiモデルやQuick-StartモデルのEuler-Lagrange対応を発見することに成功した。今年度の研究では、ソリトンセルオートマトンへの適用を試み、箱玉系におけるEuler-Lagrange対応を明らかにすることに成功した。この成果については現在論文を投稿準備中である。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2004

【配分額】1,900千円 (直接経費: 1,900千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】11555023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / 超離散 / 差分方程式 / セルオートマトン / 交通流 / 箱玉系 / デジタル / パターン形成 / 超離散化 / 交通流モデル / 反応拡散系 / 再帰方程式 / max-plus方程式 / バーガーズ方程式 / 可積分系 / 可積分 / クリスタルベース

【研究成果の概要】

超離散化は,exp型の非解析的極限を差分方程式に適用し,従属変数の離散化を行うという手法である.この手法と微分方程式の差分化手法を組み合わせると,微分方程式から差分方程式,そして超離散化方程式という一連の離散化が可能になる.本研究は,この離散化手法を具体的な方程式にあてはめ,どのような応用が可能かを探る研究である.その具体的な成果は以下の通りである.
まず,バーガーズ方程式の線形化可能構造を壊さずに,差分化そして超離散化することにより,交通流のモデルの基礎となるルール番号184のセルオートマトンを得ることに成功した.そして,このセルオートマトンを拡張することにより現実の交通流の渋滞形成を再現するモデルを得ることに成功した.
次に超離散化手法が基盤としているマックス-プラス代数を応用することにより,反応拡散系などのパターン形成系のメカニズムを再現できるデジタル方程式を提案することに成功した.この方程式から,ターゲットやスパイラルなどのパターンがどのような数学的表現により実現されるかが明確になり,パターン形成理論に対して新しい知見をもたらすことができた.
さらに,再帰系などの2階の非線形差分方程式の超離散化を行い,その解構造を調べた.これら系の解は一般に楕円関数で表現することができる.超離散化を行うと,解はmod関数に似たふるまいをすることが分かった.そこで,なぜそのような解の振る舞いが生じるのかを,力学系理論の観点から調べ,明示的な解構造を得ることに成功した.この成果は力学系理論に対して新しい寄与をなすと考えられる.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2002

【配分額】6,900千円 (直接経費: 6,900千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】10650065 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

超差分(離散)方程式 / 可積分系の差分化 / 非線形差分方程式 / 差分学 / セル・オートマトン / 交通流 / パターン形成 / 特異値分解 / 可積分 / 差分化 / Pfaffian / 保存量 / コマの運動方程式 / 超離散方程式 / ソーテング / ソリトン / 結合型MKdV方程式 / 交通流モデル / KdV方程式 / バーガーズ方程式 / ミウラ変換 / Max-Plus代数

【研究成果の概要】

我々は差分学構築の目的を次の2点に絞った。
1.実数の連続性を否定しても解析学に対応するものを離散的空間で建設できるか?
2.微分方程式の差分化の方法は無数にあるが、微分方程式の持つ定性的・大域的性質を保存するような差分化(超差分化)は可能であるか?
目的1.は肯定的に達成された。詳しくは下記の出版物
(1).広田良吾,『差分方程式講義』サイエンス社(2000).
(2).辻本諭,『可積分系の応用数理』(第一章可積分系の離散化について)中村佳正編,裳華房(2000).に述べられている。
目的2.も肯定的に達成された。この問題に関しては非常に多くの成果がえられた。上記の学会誌等への発表文献(1,2,5,7,9,10,11,12,14,17)が差分化(超差分化)を議論した論文である。論文(8,15)は可積分な微分方程式を議論したもので、これらの微分方程式も、差分化可能であると推定されている。
差分学の工学的応用
論文(3,4,6,13,18,19,20)は超差分方程式のセル・オートマトン、交通流、パターン形成を論じたものである。数値計算法のマトリックスの特異値分解に対する応用として(発表文献16)がある。可積分系の理論を使ったこの新しい方法は既存の方法よりも計算時間が早くなる可能性がある。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1998 - 2001

【配分額】3,900千円 (直接経費: 3,900千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】09750087 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / セルオートマトン / 可積分 / 超離散 / 差分方程式 / パンルベ方程式 / 交通流 / カオス / 超離散極限 / 非線形波動

【研究成果の概要】

本研究の主な目的は超離散化手法を用いたセルオートマトンの代数構造の解析とその応用であった。そして本年度の研究は大きく分けて以下の3つである。(1)差分ソリトン方程式を超離散化によってセルオートマトンに翻訳しそのダイナミクスを解析する。(2)差分バーガーズ方程式の超離散化をベースとして交通流の解析を行う。(3)パンルベ方程式・ソリトン方程式の超離散化によって得られるセルオートマトンをもとにセルオートマトンの可積分性について提案する。
(1)では差分ロトカ・ボルテラ方程式、戸田分子方程式から超離散化によって単純な規則で定義される粒子系に翻訳することができた。そしてその粒子系のもつ代数構造(ソリトン解、保存量など)が元のソリトン方程式と等価であることがわかった。さらに、その粒子系の時間発展規則がソーティングアルゴリズムとして解釈でき、ソーティングアルゴリズムの解析学的取り扱いを可能にした。
(2) では差分バーガーズ方程式を超離散化によってルール番号184のECAに帰着することができた。このECAは交通流の基礎となるセルオートマトンであり、解の漸近挙動が渋滞相、非渋滞相に分かれることが知られている。この現象をバーガーズ方程式の初期値問題として捉え、現象の起こる理由の解析学的証明に成功した。そして、バーガーズ方程式を拡張して再び超離散化をとることにより、より現実的な現象を再現できる交通流モデルを提出することに成功した。
(3) では差分パンルベ方程式や差分ソリトン方程式の可積分性の判定に用いられる特異点閉じこめ法が超離散化によってどのような結果を生み出すかを観察した。そして差分方程式での特異点および有限値が超離散方程式においては有限値と摂動に変換されることを発見し、このことから超離散方程式の可積分性を定義することに成功した。また、特異点閉じこめ法とリャプノフ指数との直接的な関係を明らかにし、ソリトン理論における可積分性とカオス理論における可積分性とのつながりを解明した。

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】2,400千円 (直接経費: 2,400千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】06750074 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / セルオートマトン / 可積分 / 代数構造

【研究成果の概要】

本研究では、本研究代表者によって発見されたセルオートマトン型のソリトン系の代数構造の解明、従来のソリトン理論との関連の解明、および、工学への応用が主要なテーマであった。
まず、代数構造については、組み合わせ論によるアプローチが行われた。そして、系の状態や保存量をスタック順列やディック言語によって表現することにより、系のダイナミクスに関する重要な知見が得られた。この成果については近々論文雑誌で公表する予定である。
次に、従来のソリトン理論との関連についてであるが、上で述べた系の2階差分版とでも言うべき新たな拡張系が見つかった。この拡張系は1次元空間内を両方向に進行できるような孤立波解を有しており、方程式の表現やダイナミクスの特徴から、戸田格子方程式のセルオートマトン版であると考えることができる。この類推を用いれば、元の系自身はロトカーボルテラ方程式のセルオートマトン版であると考えることができる。今のところ、連続変数のソリトン方程式との代数構造における直接的な関連は未解明であるが、本研究の上で述べた成果は解明のための重要なヒントを与えている。この成果についても上記のものとは別に論文雑誌で公表する予定である。
さらに、工学への応用であるが、現在のところまだ有用な応用は見つかっていない。しかしながら、ロトカーボルテラ方程式を固有値問題の数値計算に応用できることが既に知られており、本研究の系もロトカーボルテラ方程式に関連していることから、数値計算への応用の可能性が非常に大きいと考えられる。
以上の成果は、いくつかの研究会で発表され、論文雑誌で公表する予定である。本研究の目標達成度を総合的に判断すると、最終的な目標が達成されるには到らなかったが、そのための重要な手がかりのいくつかを具体的に得ることができたという段階である。

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1994

【配分額】900千円 (直接経費: 900千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】06302034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / 可積分系 / QR法 / セルオートマトン / 逆散乱法 / 戸田方程式 / ボルテラ系 / システム理論 / 数列の加速

【研究成果の概要】

本研究の目的は工学とくに応用数理の分野でソリトン理論の積極的な応用をはかり、新しい視点を加えることによって、工学の発展に寄与することである。主な研究対象について以下の成果を得た。
(1)数値解析の分野:離散ソリトン方程式と行列の固有値問題を解くLR法やQR方との関連について考察を加え、その数理的構造を明らかにした。とくに、離散ソリトン方程式ののもつ対称性がLR法との関連から抽出されたのは一つの成果である。また、加速法や外挿公式との関連も調べ、新しい方法を提案した。
(2)数理工学の分野:線形システム理論・数理計画法におけるKarmarkerの力学系・情報幾何学とソリトン理論の関連性を、とくに戸田方程式の解に依拠して考察し、タウ関数の重要性を指摘した。また、離散パンルヴェ方程式の解と戸田方程式の解が密接に関係していることも明らかにした。
(3)情報関連の分野:ソリトンセルオートマトンの構造を明らかにした。とくに、超離散という概念を導入し、連続系である非線形微分方程式と離散系であるセルオートマトンを直接関係づけることに成功した。また、離散電気回路におけるソリトン貯蔵とソリトン圧縮について新しい知見を得た。
(4)構造解析の分野:量子スピン系における可積分の概念を利用して、光励起子のストリング解が存在する可能性を示した。生体をはじめとするさまざまな対象に対する逆問題の適用。
この研究に関連して「ソリトン理論とその応用」と題する研究集会を平成7年11月9日から11日まで総合研究大学院大学で開催し、75名あまりの参加を得た。

【研究種目】総合研究(A)

【研究期間】1994 - 1995

【配分額】5,400千円 (直接経費: 5,400千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】05750069 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / セルオートマトン / 可積分系

【研究成果の概要】

本研究においては、本研究代表者によって既に発見されたセルオートマトン型のソリトン系の代数構造の解明、および、系の拡張が主要なテーマであった。まず、代数構造に関しては、無限個の保存量の陽な表現を見つけることができた。この表現から、系がスタック順列、カタラン数などと深い関連があることが明らかになり、ソリトン系と組み合わせ理論との新しいつながりを提出することができた。また、系の時間発展を記述する整数変数の差分方程式を提出した。この方程式は非線形性を絶対値関数で表したものであり、従来の広田の双線形形式に帰着しない新しいタイプの方程式である。以上の成果は、ソリトン理論に関する新しい知見となっている。
次に、系の拡張に関しては、箱と球という単純な構成要素で系を表現できたことがきっかけとなった。これにより、箱の容量を大きくする系、球に番号を付加する系、双方向に移動する球を導入する系が発見された。そして、それら系がすべて厳密な意味でのソリトン系であることが、数学的証明および数値実験によって示された。また、拡張同士を混合した系もソリトン系なることがわかった。特に、球に番号を付加する拡張系については、まだ一般的な数学的証明を見つけていないが、その初期値問題が結び目理論における不変量と関係があるらしいということについて、いくつかの手がかりを得ることができた。
以上の成果は、いくつかの学会で発表され、論文で公表された。得られた成果によって系の代数構造を完全に解明できたわけではなく、セルオートマトン理論へのソリトン理論へのさらなる枠組みの拡張の可能性は大いに残されている。そして、今後、得られた成果が、通信や符号理論へのソリトン系の応用の手がかりになることが期待される。

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1993

【配分額】800千円 (直接経費: 800千円)