【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】16340024 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

応用数学 / 逆問題 / 非適切問題 / 数値解析 / 多倍長数値計算 / 高精度数値計算 / スペクトル法 / 数値計算 / 多倍長計算 / 偏微分方程式 / 任意精度計算

【研究成果の概要】

本課題研究では、偏微分方程式で記述される逆問題の中で、物理あるいは工学等において意味を応用逆問題に焦点を絞り、非適切問題の数学解析と数値解析の研究を行なうものである。特に将来の実用上の要請を考慮し、大規模な非適切問題の数値解析を高精度に行なうことを一つの目標とし、理論・アルゴリズム開発の他に高速多倍長計算環境の整備も研究対象としていることが特徴とも言える。
逆問題の数値シミュレーションを含む科学技術数値計算では、一般には有限桁の浮動小数点演算によって実数の近似と演算が計算機上で行なわれており、そこではIEEE754の基準により定義される倍精度方式が今日では一般的に利用されておいる。これは、数値計算の一般エンドユーザの利用環境では、10進法で約15桁の精度で近似された実数表現が前提であることを意味する。このため計算機上では丸め誤差は不可避な問題で、実数を厳密(exact)に扱うことは不可能であり、さらに微分方程式等の関数方程式の数値計算では離散化に誤差も当然考慮すべきものである。安定な計算スキームを期待させる適切(well-posed)な問題とは異り、逆問題で代表される非適切(ill-posed)問題では誤差の混入は信頼できる致命的であるが、これまでの非適切問題の数値解析研究では離散化誤差やデータに混入する観測誤差ばかりに議論が制限された嫌いがあり、丸め誤差まで踏む込んだ議論が十分とは言えなかった。本研究は、離散化誤差や観測誤差に関する先行研究を前提に、計算機の丸め誤差の挙動まで考慮し、理論的な考察のみならず、この問題を解決する新たな多倍長計算環境も構築していることが他の研究との大きな相違点である。さらに、高速な多倍長数値計算環境をひとたび導入した場合、函数方程式の離散化の高精度化もこれまでとは違う視点が生まれ、多倍長数値計算環境上での新しい計算手法の開発と確立も図られている。
具体的な成果は、本課題研究の先行研究で設計・実装されている高速多倍長数値計算環境exflibの整備を行ない、特に分担者・藤原宏志氏の研究により、科学技術シミュレーションへの活用を目指して特殊函数の組み込み化を図り、さらにはスーパーコンピュータ上でも稼働する計算環境の開発も行ない、成果を挙げた。また、従来の離散化手法よりも遥かに高精度なスペクトル法系列の離散化手法を多くの問題に適用し、多倍長数値計算環境と組み合わせて数値実験を行ない、提案の有効性を確認した。また、実用面での応用逆問題を意識し、観測誤差も考慮した問題への正則化法の適用も視野に入れた研究を行ない、混入する誤差と正則化パラメータ・丸め誤差の関係についての知見も得ている。
非適切性は問題固有の性質であり、逆問題に限ってみても、問題毎にその非適切性の発現は異っているため、個別の逆問題についての数学解析の研究を本課題研究の基礎研究と位置づけ、解の一意性や条件安定性に帰還する研究を行なった。この研究分担者・山本昌宏氏が逆散乱問題について精密な成果を得ている。また、また応用逆問題を目指して数学解析・数値解析の理論を実用問題に適用するには、実用問題を視野にいれた計算力学的な基礎研究が不可欠であり、分担者毎のテーマに沿って応用逆問題の個別的研究を行なっている。さらに、高速多倍長数値計算環境の将来の応用の一つとして計算機支援証明の研究も取り上げ、精度保証数値計算の研究も課題研究の一環として行ない成果を得た。
なお、この分野でのアジアの研究者の共同研究を強化するため、中華民国(台湾)の研究者との研究交流を図るための日台共同セミナーを中華民国中央研究院数学研究所および台湾大学数学系と定期的に行ない、また、中国・韓国との研究者の交流も図り、将来の研究推進の基礎を築いた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2006

【配分額】16,100千円 (直接経費: 16,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15634005 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 非適切問題 / 応用逆問題 / 応用解析 / 数値解析 / 材料工学 / 医用工学 / 断層撮影法

【研究成果の概要】

本課題研究は、逆問題の分野で特定領域申請を将来行なうことの可否・妥当性に対する調査を行なうことが目的であった。結論は、極めて近未来に逆問題解析に関して特定領域申請を行ない、理学・工学・医学の分野横断的な研究発展を目指すことが重要と考えられる。
応用逆問題は、非破壊検査・医用CT・各種断層撮影と極めて多岐にわたるものである。そしてその研究進展には、これまでの他の計算工学など以上に、最近の数学・数値解析の諸結果の効率的な反映が不可欠と考えられる。殆どの逆問題は数学的にはHadamardの意味での非適切問題(ill-posed problem)であり、通常の意味での近似の適用が不可能である。この事実は経験的に多くの分野で知られており、逆問題の解析に対して物理・工学・医学の各分野では、それぞれの分野で固有の先験情報を考慮することによって非適切性の排除を試みている。しかしながら、これまでの研究の多くは、個別論に埋没したアドホックなケースも多く、さらに数学的には誤った理論を誤用している場合も見られる。このような問題を解決して研究の一層の進展を図るには、分野横断的なブレークスルーを図り、さらに数学の視点から先験情報の構造を解析することが有効であると考えられる。
我が国においては、学問においても縦割り的な様相が強く、複数の分野を横断的に纏めた研究を行なうためには、現在の枠組みでは特定領域の制度を活用することが合理的であると考えられる。さらに、分担者による各学会の逆問題解析研究者の意見収集では、応用逆問題に関しては分野横断的に研究を行なえるだけの個別の実績が有ると判断される。
さらに、我が国の科学技術戦略として、組織規模まで同定できる医用断層撮影技術や地雷探査等の戦後処理技術の確立が議論されているが、これらの技術革新は応用逆問題の適用例であり、逆問題解析の研究レベルの向上は我が国の近未来の方針とも合致するものと判断される。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003

【配分額】2,700千円 (直接経費: 2,700千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】13894002 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 非適切問題 / 逆解析 / 再構成手法 / 数値解析 / 多倍長数値計算 / Tikhonov正則化法

【研究成果の概要】

物理・工学・医学などの応用分野においてはCT(断層撮影法)など種々の逆問題が技術として利用されており、その成果は我々の生活を支えている。しかしこれらの逆問題は数学的にはHadamardの意味で非適切であり、通常の単純離散化による手法での解の再構成、特に数値的再構成は殆んど不可能である。このため、Tikhonov正則化法を始めとする幾つかの正則化法(緩和的手法)や、問題固有の情報(先見情報)を援用した解析手法が提案されている。しかしこれらの先見情報の利用は問題個別の議論が殆んどであり、その正当性などの数学解析は殆んどの場合は未だ示されていない。また同種の手法を分野固有の述語による記述をするため、分野を越えての共通理解が滞り、此れが研究推進を阻害している場合も見受けられる。この様な状況を鑑み、分野横断的な逆問題解析の研究を我が国において行う可能性を調査することが本研究の目的である。今回の調査研究では、逆問題の分野で医学・工学・物理・数学において我が国をリードする研究者を分担者として組織して調査を行い、主として分担者による個別調査によるかたちで調査を行い、メールを通しての相互意見交換によって今後の研究の進め方を議論した。
この結果、現在は複数の分野にわかれて独立して研究している研究者が「逆問題」「非適切問題」をキーワードに研究交流・共同研究を行うことが重要であるという共通認識が持たれ、さらには京都大学を中心に現在進行している多倍長数値計算環境の援用を医学・工学の応用逆問題の解の再構成に適用することの意義が指摘された。また分担者の何人かがロシア・香港での逆問題・非適切問題の国際研究集会に参加し、海外での応用逆問題の研究動向を調査し、海外においても応用逆問題の解の再構成-特に数値解析に対する関心が高いことを実感した。
この調査研究の結果をふまえ、平成14年度には特定領域の新設に向けての申請準備を行うことが妥当であるという結論に達し、平成13年度末には既に準備を開始している。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2001

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】13440031 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Tikhonov正則化法 / 逆問題 / 非適切問題 / 数値解析 / 多培長数値計算 / スペクトル法 / 区間演算 / Tikhonov正規化法 / 応用解析 / 第1種積分方程式 / 多倍長数値計算 / 正則化法 / Lカーブ法 / 多倍長計算 / 弾性方程式

【研究成果の概要】

本課題研究では「正則化法による数値解析」を広い意味で捉え、逆問題・非適切問題の解析手法の確立を目ざした幅広い視点からの研究を行ない成果を得た。
逆問題は医用CTや非破壊検査技術・ジオレーダー等の実用技術と関わる問題であり、その研究の進展は先端技術の革新と直結している。特に信頼できる数値解の構成は、実用上からも重要な課題となっている。その一方で、数学的には殆どの逆問題はHadamardの意味での非適切(ill-posed)であり、従来の数値解析手法の適用が困難であることが多い。大雑把な表現であるが、対象とする数理モデル(微分方程式)が安定な解を一意的にもつことが「適切(well-posed)」の意味であるので、この否定概念の非適切問題の解析が困難であることは容易に想像されよう。
このような非適性を緩和する手法として、数学においては種々の「正則化法」が提案されるている。これはパラメータを含む"正則化項"の導入によって非適切問題を適切な問題の系列で近似するもので、数値計算等においては正則化された問題を通常手法で離散化することとなる。Tikhonov正則化法はその最も汎用的かつ有名な方法である。本課題研究は、この正則化法を中心に、幅広い視点から逆問題・非適切問題の解析に取り組み、多くの成果を上げた。
特筆すべき成果は、浮動小数点数値計算の基礎であるIEEE754方式による倍精度計算環境そのものの見直しを行ない、非適切問題の数値計算を念頭においた高速多倍長数値計算環境を設計・実装したことである。これは本課題研究の研究協力者の成果に負うものであるが、これによってTikhonov正則化法の正則化パラーメタ選択に関する従来手法の問題点を指摘した。さらにこの計算環境を活かして非適切問題の高精度数値計算を行なうために、スペクトル法を基礎とするアルゴリズムを開発したことも大きな成果と言えよう。
さらに、Dirichlet-Neumann写像の局所化や積分方程式の適用も含め、逆問題・非適切問題の解の再構成手法を数学・数値解析の視点から深化させ成果を挙げている。さらに、今後は非均質な媒体における逆問題解析が重要になると考え、その解析の基礎となるフラクタル領域での熱や波の伝播の基礎理論、多倍長数値計算環境における事後誤差解析としての精度保証数値解析など、これらのあらたな解析手法の確立のための基礎研究にも光を当て、将来を示唆する先駆的な成果を挙げることができた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2001 - 2003

【配分額】14,700千円 (直接経費: 14,700千円)

【研究分野】広領域

【研究領域課題番号】07309021 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 非適切問題 / 逆問題 / 解の一意性 / 解の安定性 / 非適切問題(ill-posed problems) / 適切問題(well-posed problems) / 断層撮影法 / システムの制御問題 / 非適切問題の適切クラス / 逆問題解析 / 逆問題の数値計算 / 条件安定評価 / 数値計算アルゴリズム / 弾性体逆問題 / 欠陥同定問題 / 数理工学

【研究成果の概要】

逆問題を中心とする非適切問題についての研究を行った。ここで言う非適切問題は、Hadamardの意味でのIll-posed Problemsであり、微分方程式で記述されたモデルを考えた場合特に、与えられたデータから解への対応が不連続であるか弱い意味での連続性しか示されないものを意味する。これは数値解析の立場に立てば、対象とする問題に対する数値シミュレーションにおいて安定な数値解の構成が困難であり、ひいては信頼性のある数値計算が困難であることを意味する。工学においては非破壊検査などに代表される種々の逆問題の解析がこの近年精力的に行われているが、これらの多くはHadamardの意味では非適切な問題であり、数値解析においては上述の通りの困難さが伴う。
この様な背景にあって、本研究では非適切問題に対して安定した数値解を得るための方法を、特に理論面から研究した。本研究の分担者の山本昌宏のこれまでの研究によって幾つかの逆問題では解の一意性が示ざれれば函数解析の枠組みから弱い意味での連続性が示されることが知られているので、本研究では数値解析以前の問題として「解の一意性」を本総合研究の重要テーマの一つと位置づけて研究を行った。これに対しては分担者の久保雅義によって顕著な成果が得られた。またれらの研究と並行して、代表者と分担者で様々な視点から逆問題の数値解析の研究を行い、逆問題の数値解析においては正則化法・フィルター法・多倍長計算法などが有効であることが本研究によって分かった。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1995 - 1997

【配分額】2,400千円 (直接経費: 2,400千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05352002 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 非適切問題 / パラメータ推定 / 形状同定 / 正則化法 / 係数決定 / トモグラフィー / 数値解析

【研究成果の概要】

工業技術の発展に伴い、形状・欠陥の同定,材料定数の決定等の逆問題の研究が望まれる様になった。更にコンピュータの発達は、これらの問題の理論解析のみならず数値解析を可能にし、それらの研究成果は新しい技術の発展へとつながっている。しかし、多くの逆問題は数学的には非適切な問題であり、今後の発展を期する為には応用指向の基礎研究が重要である。世界的な視野からこの動きに対処する為の国際会議“数理工学に於ける逆問題(IPES-94)"が1994年7月に大阪で開催されるが、本研究はこの研究集会に向けて、国内に於ける学問的体制を整備することがその目的であった。この為に、研究連絡のセミナーを開催し、関係文献の整理を行ない、更に国内シンポジウムを開催した。特に山本晶宏によるヒルベルトのユニークネス法の逆問題への応用は世界最先端のものであること、久保司郎の誤差解析,磯祐介と久保雅義の非適切問題への数値解析的アプローチは今後の発展が期待されること等が確認された。数学者と工学者が逆問題についての応用指向の基礎研究を進めていく素地を作ったことで、本総合研究の目的は十分に果せたものと判断している。各分担者の研究については、添付の研究内容の文献リストの通りである。

【研究種目】総合研究(B)

【研究期間】1993

【配分額】2,300千円 (直接経費: 2,300千円)