Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

漸近展開 / マリアバン解析 / 数理ファイナンス / 数値計算 / 金融工学 / ファイナンス / デリバティブ / ポートフォリオ / 金融経済 / デリバティヴ / マリアヴァン解析 / 数値解析 / 金融経済学 / 最適ポートフォリオ / オプション / 確率数値解析

1.状態変数が拡散過程で記述される場合、必ずしも拡散過程では記述できない場合の派生商品の値付けにおける漸近展開による近似法の数学的基礎付けをマリアバン-渡辺理論により完成させた。("On Validity of the Asymptotic Expansion Approach in Contingent Claim Analysis,"Annals of Applied Probability(2003))
2.動的ポートフォリオ理論において状態変数が拡散過程に従う揚合の最適ポートフォリオをOcone-Clark公式を活用し数値的評価が可能な表現を与え、漸近展開手法を用いた近似式を導出し、数値実験によりその有効性を確認した。("An Asymptotic Expansion Scheme for the Optimal Investment Problems,"Statistical Inference for Stochastic Processesに掲載予定。)
3.原資産価格の確率過程が一般の拡散過程に従う場合、アメリカンオプション価値をヨーロッパ型の価値と期限前行使価値とに分解できることを示し、その各々に漸近展開法を適用することで擬似解析的な計算スキームを開発した。(「漸近展開法を用いたアメリカンオプションの評価法」金融研究(2003))
4.漸近展開による近似を用いモンテカルロ・シミュレーションの効率性を向上させる手法を考案し、マリアバン解析による数学的正当化を行った。応用例として、瞬間的フォワード金利が必ずしもマルコフ型とならない確率過程に従う金利モデルの揚合の派生証券価値の評価、原資産価格がジャンプ・拡散過程に従う場合のオプション価値の評価などがある。
("Applications of the Asymptotic Expansion Approach based on Malliavin-Watanabe Calculus in Financial Problems," Stochastic Processes and Applications to Mathematical Finance他に掲載予定。)
5.漸近展開法によるファイナンスの数値的問題の研究を集大成し,国友教授と共に本を出版した。
「数理ファイナンスの基礎・マリアバン解析と漸近展開の応用-」(2003)

数理ファイナンス / デリバティブ / リスク尺度 / 数値計算 / マリアバン解析 / 自由リー環 / 確率微分方程式 / ルンゲ・クッタ法 / アクチュアリー / 生命保険 / 数値解析 / ファイナンス / リスク / 法則不変 / 多期間モデル / 連続極限 / フィルトレーション / ルンゲ・クッタ / リー環 / 拡散過程 / モンテカルロ法 / アメリカンオプション / ヨーロピアンオプション / 加法過程 / 特性関数

本研究の目的は、市場が完備でない場合や取引費用、空売り制約、税金などの摩擦要因のある場合に、ヨーロッパ型、アメリカ型をはじめとするデリバティブの価格を金融機関が決定するにあたり、リスク尺度(Risk Measure)に基づくリスク管理という観点から考えればどのようになるかということを研究することにあった。
まず、リスク尺度で金融機関が使いやすいものとして、Artzner-Delbaen-Eber-Heathの提案したコヒーレントなリスク尺度というものがあるが、さらに新しい概念として法則不変(Law Invariant)というものを導入し、法則不変なコヒーレントリスク尺度の分類を行った。
次にデリバティブ価格の計算のために、効率的な数値計算の新手法の研究を行った。
まずアメリカ型のデリバティブの計算方法について、近年、値関数を多項式等で近似するという方法がLongstaff-Schwartzらにより提唱されているが、それらの方法の理論的正当性を証明すると同時に、その理論的限界についても考察した。これの理論的考察により、どのような改良の余地があるかについても明らかにした。
ヨーロッパ型デリバティブの数値計算法については、マリアバン解析に基づく確率微分方程式とリー環を用いた全く新しい方法を導入し、改良を重ねていった。具体的に言うと、まずm-similarなマルコフ作用素の概念を導入し、さらにm-L-similarな確率変数という概念を導入し、昨年度までの近似方法の自由度を大幅に高め、同時に逐次確率積分の代数的な性質についても解明した。また、常微分方程式の近似方法として有効なルンゲ・クッタ法を活用し、m-Similarなマルコフ作用素の具体的構成法やm-L-similarな確率変数の具体型についての研究を行い、実行可能なアルゴリズムの研究を行った。

【研究分担者】
吉田朋広	東京大学	大学院・数理科学研究科	教授	(Kakenデータベース)
高橋明彦	東京大学	大学院・経済学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
関根順	大阪大学	大学院・基礎工学研究科	助教授	(Kakenデータベース)