【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】14204011 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

異方性 / ベルグ効果 / 自己相似解 / 適正粘性解 / 非線形拡散型 / 特異垂直拡散 / バーガーズ方程式 / ナヴィエ・ストークス方程式 / 最大値原理 / 等高面法 / 粘性解 / 曲率流 / 画像処理 / 国際研究者交流 / 多国籍 / 表面エネルギー / 平衡形 / 自由境界問題 / ラプラス方程式 / 均質化理論 / 強拡散 / 不連続解 / エントロピー解 / 大域可解性

【研究成果の概要】

構造の異方性を反映した非線形拡散型偏微分方程式の解の形状が異方性や拡散効果によってどのように変化していくかを解明するための数学的基礎をいくつかのテーマにわたって築いた。以下、代表的な結果についてのみ述べる。
(i)結晶表面の運動を記述する方程式:雪結晶のように表面エネルギーの異方性が強い場合、その平衡形にファセットと呼ばれる平らな面が現れることがある。駆動力は結晶の外の拡散場になって定まり、拡散場は結晶の形状によって定まる自由境界問題であるが本研究では、(a)ファセットが維持できるとした場合の初期値問題の時間局所可解性;(b)ファセット上での拡散場の大小を主張するベルグ効果の証明;(c)ファセットが曲がってしまうための必要十分条件;(d)自己相似解の存在する十分条件と自己相似解について、その大きさによるファセットが曲がってしまう条件の記述;(e)平衡形の近くではファセットは維持できることの厳密な証明。といったさまざまな重要な結果を得た。なお、結晶形は円柱としている。ベルグ効果では円柱外でのラプラス方程式ノイマン問題の解についての基本的結果を得た。変分法や常微分方程式の結果を巧みに応用することによって上述の結果を得た。今後、ファセットが折れ曲がってからの解の追跡が求められる。
(ii)流体力学の方程式:非粘性バーガーズ方程式では、不連続性を許したエントロピー解の概念を用いれば、時間大域的に一意に解ける非線形項が発散型でかけるということが大前提であり、他の問題に適用できなかった。本計画の直前に代表により導入された適正粘性解の概念は有効である。本計画ではそれを数値計算する上で重要な解のグラフ空間での特異垂直拡散の概念を確立し、適正粘性解を等高面法で数値計算することに成功した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2002 - 2005

【配分額】48,880千円 (直接経費: 37,600千円、間接経費: 11,280千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】12874024 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

自由境界問題 / ベルグ効果 / ラプラス方程式 / カドのある領域 / 最大値原理 / 結晶成長 / うず巻成長 / 異方性 / 非局所的曲率 / ステファン問題 / 過冷却 / 動的係取 / 表面エネルギー / 動的係数 / 非局所的 / 粘性解 / 劣微分

【研究成果の概要】

結晶成長現象を記述する偏微分方程式を中心に、その可解性を中心にいくつかの新しい成果を挙げた。
まず、雪結晶のような気相成長の場合、準定常型のステファン型の自由境界問題により、結晶面の成長を記述することも多い。ここでは結晶の形を円柱とし、その外側で過飽和度についてのラプラス方程式を仮定し、また空間無限遠でも過飽和度は既知とする。結晶面では、その外向きの成長速度が過飽和度の勾配に比例するという、ステファン条件を仮定する。また、結晶面での過飽和度は、動的効果も考慮したギブス・トムソン効果も考慮する。
このような状況では過飽和度は、円柱のふちにくらべ、中心部の方が大きいという現象がベルグ効果として知られていたが、その厳密な数学的証明は、結晶形が正多角形の場合に関数論を用いたものだけしがなかった。ここでは円柱の場合、成長速度が定数の場合にベルグ効果を数学的に厳密に示した。
この問題の難点は、領域にカドがあり、過飽和度が、境界付近で滑らかかどうかわからないことであった。ここでは、問題の軸対称性から、長方形の問題に帰着し、過飽和度の連続微分可能性を示した。その上で、その導関数に対して最大値原理を巧みに用いて、ベルグ効果を示した。この問題は、カドのある領域の外部でのラプラス方程式の解の性質という古典的な問題であり、既にさまざまな研究があったが、上の状況に適用できるものはなかった。したがって応用面のみならず、数学解析としても重要である。
本研究では、さらに詰晶成長の仕組みのひとつである、うず巻成長について、そのモデル方程式の異方性が考慮されていても、等方的な場合に近い限り、うず巻型の解が存在し、安定であることをも示した。

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2000 - 2002

【配分額】2,200千円 (直接経費: 2,200千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】10304010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非局所的曲率 / 高階拡散 / ファセット / クリスタライン運動 / 等高面法 / 異形性 / ラヴィエ・ストークス方程式 / 下半連続性 / 粘性解 / 非局所的拡散効果 / 適正粘性解 / 異方性 / ナヴィエ・ストークス方程式 / 2次元流 / 界面支配モデル / 表面エネルギー / 等高面の方法 / 非局所的曲率流方程式 / 非線形拡散方程式 / 非線形 / 非平衡 / 拡酸 / 高階微分方程式

【研究成果の概要】

非線形非平衡現象では拡散効果の役割はしばしば重要である。この役割を解明するために、主に次の4つのテーマを研究した。(i)非局所的曲率のある界面ダイナミクス、(ii)高階拡散項のある界面ダイナミクス、(iii)おりたたみエネルギー、(iv)ナヴィエ・ストークス方程式の初期値問題。
(i)結晶表面の成長は、界面支配モデルでは駆動力付の曲率流方程式で記述される。表面エネルギーの異方性が強くウルフ図形に平らな面(ファセット)が現れる場合がよくある。この場合は拡散効果が非局所的と考えられるので、解の概念さえはっきりしなかった。そこで曲線の運動の場合、等高面法を拡張することにより解の概念を定式化し、比較定理・収束定理を証明した。この結果の応用として、一般の方程式に対してクリスタライン運動が滑らかの表面エネルギーによる運動の極限となっていることを示した。曲率効果が非局所的なので、この研究はむずかしく完成までに200ページ以上を要した。
(ii)表面拡散運動には1、4階の拡散効果がはいっている。2階のモデルに比べ、4階の挙動は大きく異なっている。例えば、解の凸性や、自己非効性の性質が、有限時間で失いうることを示した。
(iii)このエネルギーは、密度に2階微分のあるエネルギーの極限と考えられる。このエネルギーの下半連続性を示した。この研究は多くの研究の引き金になった。
(iv)初期値が有界で、必ずしも空間無限達で減衰しない場合に、空間2次元ナヴィエ・ストークス流を時間大域的に一意的に存在することを示した。
この研究のほかに'非線形偏微分方程式'(共立)という単行本を出版した。この本では、平均曲率流方程式のちぎれ現象や過度方程式の解の時間大での挙動について新しい結果をも含めて解説した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1998 - 2001

【配分額】38,830千円 (直接経費: 36,100千円、間接経費: 2,730千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】05452009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

相境界の運動 / クリスタライン・エネルギー / 自己相似解 / 異方性 / 一意性 / 分散現象 / 非線型シュレディンガー方程式 / 漸近挙動 / 非線形シュレディンガー方程式 / 非線形放物型方程式 / 曲面の発展方程式 / 非線形散乱理論 / ソボレフの不等式 / ザハロフ方程式 / 半線形楕円型方程式 / アブリオリ評価 / 曲線の発展方程式 / 粘性解 / 波動方程式 / シュレディンガー方程式 / 散乱問題 / 漸近展開

【研究成果の概要】

結晶成長時における結晶表面の運動は相境界(界面)の運動の典型的な例である。この現象は非平衡、非線形現象として学際的に注目されている。相境界の運動方程式の中で重要な族として界面支配モデルがある。これはバルクでの熱拡散・質量拡散が無視でき、界面の運動が、その幾何学的形状によってのみ決定される場合をいう。表面エネルギーがなめらかでなく、界面にファセットの現れる現象が例えば極低温ヘリウムの結晶成長に現れる。このような状況では、運動を支配する方程式が非局所項をもち記述しにくく従来は、界面の運動のクラスを限定することによって成長法則を記述していた。これに対して偏微分方程式と同じ立場で扱える定式化が研究代表者によってなされた。それは、非線形半群論を用いるもので今日Fukui-Gigaの定式化と呼ばれている。この定式化により、いわゆるクリスタライン・エネルギーを表面エネルギーとする曲線の運動が滑らかな異方的エネルギーによる運動の極限として理解できることが示された。
異方性のある表面エネルギーによる運動については、自己相似的に縮む解が存在するかどうかが重要である。等方的表面エネルギーによる運動の場合、外場がなければ支配方程式は、有名な曲線短縮方程式になり自己相似解は円またそれに限ることが知られていた。しかし、その一意性の証明は初等的でないので研究代表者は初等的な証明を与えた。一方異方性のある表面エネルギーによる運動についても自己相似解の存在を初等的な方法で示した。ただ一意性については、成長法則が曲線の向きづけによらない場合のみしか示せなかった。
以上は、主に非線形放物型方程式の重要な例の研究である。研究分担社は、分散現象を記述する非線形シュレディンガー方程式の解の時間無限大についての漸近挙動の解析を行ない、線形現象としては扱えない非線形効果を発見した。

【研究種目】一般研究(B)

【研究期間】1993 - 1995

【配分額】6,300千円 (直接経費: 6,300千円)