【研究領域課題番号】21H00989 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / ラプラシアン

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2021-04-01 - 2024-03-31

【配分額】17,290千円 (直接経費: 13,300千円、間接経費: 3,990千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】17H02849 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / 距離空間 / 力学系 / Harnack 不等式 / 等角次元 / ラプラシアン / 解析学

【研究成果の概要】

空間の性質を理解するための基礎理論の研究を行った。具体的にはコンパクトな距離空間の分割とその上の重み関数という概念を導入し、距離や測度に対応する自然な重み関数を定義した。この観点から、分割上の重み関数は距離や測度を包括する概念と考える事ができることを示し、更に重み関数が距離に対応するための必要十分条件が、分割と重み関数から決まる無限グラフがグロモフの意味で双曲的であること、重み関数の世界では、距離と距離が疑対称的であることと、測度が距離に対して2倍的である事が同じ概念であること、更に距離空間のアールフォース正則等角次元がエネルギーの臨界指数に一致することを示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2017-04-01 - 2020-03-31

【配分額】17,810千円 (直接経費: 13,700千円、間接経費: 4,110千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26287017 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / ラプラシアン / Dirichlet form / 力学系 / タイリング / 自己相似集合 / 確率過程 / 拡散過程 / 複素力学系

【研究成果の概要】

自己相似集合や力学系の不変集合などの代表的なフラクタル集合において、その集合を特徴付ける代数的・幾何学的な構造とその上の解析学の相互関係について研究を行った。具体的には、例えば、一般化されたシルピンスキーカーペット上のブラウン運動の特異な測度に対する時間変更について、弱幾何級数的という条件の下で、ポアンカレ不等式を確立し、連続な熱核の存在を示し、測度から定義される距離もどきを用いた熱核の漸近評価を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2014-04-01 - 2017-03-31

【配分額】16,380千円 (直接経費: 12,600千円、間接経費: 3,780千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】25287015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ポテンシャル / 調和 / 容量 / Green核 / 熱核 / Harnack原理 / ネットワーク / フラクタル / 擬等角写像 / Sierpinski gasket / varifold / 解析学 / 関数論 / 関数方程式論 / 確率論 / 幾何学 / グラフ / Brown運動 / レブナー鎖 / 変分公式 / Riemann面 / 境界Harnack原理 / 双曲空間 / 乗数イデアル / Harnack不等式 / 除去可能特異点 / 平均曲率流 / 非線形ネットワーク / Sierpinski carpet / 擬等角変形空間 / ガウス写像 / 熱半群

【研究成果の概要】

調和関数や熱方程式解，Green核，熱核と定義領域の関係や空間複雑性の境界挙動への影響を研究し，ユークリッド空間の複雑領域，多様体，バリフォールド，ネットワーク，フラクタルなど様々な分野に応用した．とくに，除外集合を許したHarnack原理，最小固有値の容量的幅による評価，大域的境界Harnack原理のGreenレベル集合の容量的幅による十分条件，放物型境界Harnack原理（Intrinsic Ultracontractivity）に対応する条件，グラフ領域が大域的境界Harnack原理をみたす臨界連続率，無限における容量密度の極限の0-1法則などに新しい結果を得た．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2013-04-01 - 2017-03-31

【配分額】13,910千円 (直接経費: 10,700千円、間接経費: 3,210千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】23340025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 解析学 / 確率論 / 力学系 / ラプラシアン / 熱核

【研究成果の概要】

本研究においては、フラクタル集合を、その構造に注目し、解析学・幾何学・代数学にわたる広い視点から考察した。特に、フラクタル的な構造をもつ物体の上の波や熱伝導などの物理現象の数学的モデルとして、フラクタル上の確率過程論・ポテンシャル論について、例えば熱の時間的広がりと空間的広がりが分かるための一般的な条件を明らかにした。さらに、空間に無限個の穴がある場合の、平衡状態での熱の分布に関して、その解析学的な性質を考察し、熱分布が滑らかであるための条件を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2011-04-01 - 2014-03-31

【配分額】18,590千円 (直接経費: 14,300千円、間接経費: 4,290千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】20340017 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 確率過程 / 熱核 / タイリング / 複素力学系 / ジュリア集合 / random walk / Tree / Cantor set / percolation cluster / 調和関数 / Martin境界 / jump process

【研究成果の概要】

本研究では、フラクタルに関する数学的基礎理論を多様な視点から研究した。フラクタル上の解析的構造(確率過程など)から導かれるフラクタルの内的な幾何的構造を明らかにし、その幾何学的構造を用いてフラクタル上の確率過程の漸近挙動、フラクタルを境界とする領域上の関数の境界での挙動などなどを詳しく調べた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2008 - 2010

【配分額】18,850千円 (直接経費: 14,500千円、間接経費: 4,350千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】19204010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / 確率微分方程式 / マリアバン解析 / ラプラシアン / 拡散過程 / 熱核 / 流体力学的極限 / 数理ファイナンス / ディリクレ形式 / ベッセル過程 / 安定過程 / 多様体 / 一般化逆ガウス分布 / 大偏差原理 / マルコフ連鎖 / フラクタル / 第一固有値 / ウィナー空間 / ラフパス / シュレディンガー作用素 / 数値解析

【研究成果の概要】

代表者,分担者のみならず日本国内の研究者の研究の進展に役立てるため,2件の国際会議を含む研究集会を毎年複数開催して日本内外の研究者の研究連絡,共同研究などを行った.また,海外の研究者の招聘し,さらに研究代表者,分担者,連携研究者が海外の研究集会に参加し,研究者を訪問した.これらの活動を通して,確率解析の理論の発展に寄与し,統計力学に起源をもつ問題,微分方程式論,多様体のスペクトル,数理ファイナンスなどの研究への応用に関する研究成果を得た.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2007 - 2010

【配分額】32,500千円 (直接経費: 25,000千円、間接経費: 7,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18340027 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 解析学 / 応用数学 / 数理物理 / フラクタル / 熱核 / 飛躍型確率過程 / 国際研究者交流 / イギリス:ドイツ:ポーランド / カナダ:アメリカ:ドイツ / カナダ:アメリカ:フランス

【研究成果の概要】

フラクタルやランダム媒質を典型例とした複雑な系の上で、熱がどのように伝導するかといった物理現象を解明するため、系の上の確率過程や対応する自己共役作用素の解析を行った.確率過程論と実解析学の手法を融合させる事により、汎用性の高い解析の方法を確立し、いくつかのモデルについて熱核の詳しい評価を与えた.また、シェルピンスキーカーペット上のブラウン運動の一意性という当該分野の20年に渡る未解決問題を、肯定的に解決する事に成功した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】13,570千円 (直接経費: 11,500千円、間接経費: 2,070千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17340026 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / 自己相似集合 / パーコレーション / 調和関数 / エネルギー測度 / タイリング / 確率論 / 力学系 / 調和解析

【研究成果の概要】

フラクタル上の解析学と幾何学の関連について、次の2つの成果を得た。
(1) 自己相似集合上の自己相似的なDirichlet formから導かれる拡散過程の熱核(確率推移密度)の漸近共同を記述するのに最適な距離の構成を行った。具体的には、Dirichlet formのresistance rationと測度から決まる自己相似集合上のscaleに関して測度がvolume doublingであることが、熱核の対角成分がLi-Yau型のsub-Gaussian評価をみたすような距離が存在するための必要十分条件であることを示した。Barlow-Bassによって構成された(高次元の)Sierpinski carpet上の拡散過程の自己相似測度に関する時間変更に対応する熱核に対してこの結果をおうようした。そして、熱核の対角成分が、Li-Yau型のsub-Gaussian評価をみたすような距離が存在るための、自己相似測度の重みに関する簡単な必要十分条件を見いだした。
(2)Sierpinski gasket上の標準的なDirichlet formに付随する測度論的なRiemannian structureの研究を行った。その結果、Riemannian volumeに対応するDirichlet formのエネルギー測度がユークリッドの距離に関してvolume doublingとなることを示たた。また、geodesic metricがharmonic Sierpinski gasket上のshortest path metricと一致することを見いだし、上の結果と合わせて、Sierpinski gasket上のブラウン運動のエネルギー測度に関する時間変更の熱核がLi-Yau型のGaussian評価をみたすことを示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】16,500千円 (直接経費: 15,300千円、間接経費: 1,200千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】17654039 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

熱核 / リーマン計量 / 測地線 / 確率論 / 解析学 / フラクタル / 自己相似集合 / Dirichlet形式 / ランダムウォーク

【研究成果の概要】

木上は、Sierpinski gasket上のstandard Dirichlet formに関するKusuokaの結果をもとに、Sierpinski gasket上のMeasurable Riemannian stturcutreについて研究を行った。その過程で、Kusuokaによるgradient operatorとKigamiによるhamonic Sierpinski gasket上のgradient operatorが本質的に同じものであること、Kusuoka measureがユークリッドの距離に関してvolume doublingであることを示した。
また、harmonic Sierpinski gasket上のshortest path metricがmeasurable Riemannian structureから決まる測地線距離で有ることを示した。さらにこれらの結果を組み合わせて、Kusuoka measureに対応する熱核がLi-Yau型のGaussian estimateを満たすことを証明した。
日野は、(無限分岐的なものも含む)自己相似集合上の自己相似的なDirichlet formのエネルギー測度について研究した。
エネルギー測度が自己相似測度に対して特異的になるための条件を示し、いくつかの興味ある場合に適用した。

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2005 - 2006

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】14340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / 複素力学 / タイリング / ラプラシアン / 自己相似集合 / 拡散過程 / ジュリア集合

【研究成果の概要】

本研究はフラクタルを解析学、確率論、エルゴード理論、力学系、応用数学の様々な視点から総合的にとらえること目的としている。初年度(14年度)および最終年度(16年度)に京都において本研究課題を中心テーマとする研究集会をおこない、初年度においてはこれからの研究の方向について、最終年度については本研究で得られた成果にういてそれぞれ検討をおこなった。本研究で得られた成果の主なものは以下のとおりである。木上は、volume doubling条件の元では、Li-Yau型の上からの熱核の評価が局所Nash不等式と脱出時間の評価に同値であることを明らかにし、その応用としてフラクタル上の熱核の性質を詳細に調べた。熊谷は、Barlow-Bassらと共同で、熱核のLi-Yau型の評価の摂動に関する安定性を示した。伊藤は、ベータ変換とそれに対応するタイリングの代数的な性質を明らかにした。佐藤はフラクタルをマルチン境界とするような確率過程の構成を行った。亀山は、複素力学系に現れるジュリア集合が自己相似集合となるための条件を明らかにした。日野はSierpin ski carpet上の自己相似的なDirichlet形式のエネルギー測度は任意の自己相似測度と特異的であることを示した。さらに木上と亀山は自己相似集合の位相的性質とその上の拡散過程の性質の関係を明らかにした。また木上と熊谷はHamblyと共同で、フラクタル上の熱核の漸近的性質のマルチフラクタル性を明らかにした。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2002 - 2004

【配分額】14,300千円 (直接経費: 14,300千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】11440029 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / Dirichlet形式 / フラクタル / Sierpinski Carpet / 等周不等式 / マルコフ過程 / ランダム行列 / determinantal random point field / Dirichlet form / heat kernel / ディリクレ形式 / パーコレーション

【研究成果の概要】

本研究は研究代表者が開発したDirichlet形式を用いた拡散過程のある構成法をSierpinskiカーペットを代表とする無限分岐的フラクタル、さらに無限粒子系の空間やパス空間といった無限次元空間など興味深いが通常の方法ではその上に拡散過程を構成しにくい空間に拡散過程を構成しその性質を調べることを目的とした。研究の発端となったフラクタルの場合にはハウスドルフ測度に対する特異時間変更でパスの連続性が保たれることを証明し、結果としてブラウン運動とは異なるがハウスドルフ測度を不変測度とする自己相似拡散過程をフラクタルの上に構成することができた。ランダムフラクタルについては「バブル」と呼んでいる自然な統計的自己相似性を持つフラクタル集合を考え出し、上に述べた拡散過程の構成方法の一般論の部分から、この上に拡散過程を構成した。これが如何によい性質を持っているかを突き詰めていくのは今後の課題となった。また、フラクタルの上のパーコレーションについていくつかの新しい知見が得られた。無限粒子系の空間に関しては、定常測度が「determinantal random point field」と呼ばれるランダム行列の理論と関係が深い確率測度のクラスに対して、あるレベルでで拡散過程の構成を行うことができた。このクラスは従来のRuelleクラスのGibbs測度とはまた違った範疇のもので今後研究が進展していくと思われる。パス空間の場合にはその上のGibbs測度の存在およびそれを定常状態とする拡散過程の構成を行った。Gibbs測度の混合性についてもいくつかの知見を得た。だが、この無限次元拡散過程の興味深い性質の探求は今後の課題である。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2002

【配分額】12,900千円 (直接経費: 12,900千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】10440029 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 拡散過程 / 確率過程 / マルチフラクタル / ハウスドルフ次元 / 熱核 / 極限定理 / ベソフ空間 / 固有値分布 / ランダムウォーク

【研究成果の概要】

本研究を通じて、フラクタル上の解析学について以下の成果を得ることができた。
1.フラクタル上の自己共役作用素のスペクトル
自己相似測度をベースとする拡散過程において、測度の自己相似性と拡散過程のスケールがマッチしない際の熱核の短時間漸近挙動を研究した。この場合の漸近挙動は初期点に大きく依存してマルチフラクタルが現れることが分かり、その(ユークリッド距離等に関する)ハウスドルフ次元を計算した。この結果は雑誌に掲載予定である。さらに、フラクタル上に擬距離の族を定め、ある特別な擬距離については上述した次元が単純な形で表現できることを示した。この結果は現在論文に纏めている。
2.ランダムフラクタル上の確率過程の解析
(1)Homogeneous random Sierpinski carpet上の拡散過程とその熱核の評価に関する研究をまとめ、雑誌に掲載された。
(2)空間的な対称性のないrandom recursive Sierpinski gasket上の拡散過程の熱核の短時間漸近挙動を調べ、この挙動に重複対数分の振動が現われることを証明した。この結果は雑誌に掲載された。
3.フラクタル上の確率解析
(1)ユークリッド空間内にフラクタルなどの複雑な系が埋め込まれたモデルにおける熱伝導問題を扱い、実解析で用いられるベソフ空間の理論を援用することにより、内部では系特有の拡散、外部ではユークリッド空間の拡散に従うような拡散過程を解析的に構成した。この結果は雑誌に掲載され、現在は拡散過程の短時間挙動の大偏差原理を研究中である。
(2)T.Lyons氏らによる「ラフパスを持つ確率過程上の確率解析の研究」の発展については、新たな成果を得られなかった。離散近似を手がかりに、彼らの与えた確率微分方程式の性質を詳しく探ることは今後の大きなテーマの一つである。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】7,800千円 (直接経費: 7,800千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】08454040 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 確率過程 / 自己相似集合 / 熱核 / シェルピンスキーカーペット / ハルナック不等式 / ホモジナイゼーション / 拡散過程 / ランダムウォーク / ハウスドルク次元 / 固有値分布

【研究成果の概要】

1。本研究を遂行する中で、有限分岐的フラクタル上の確率過程についての新たな知見が得られた。P.c.f.self-similar setと呼ばれる自己相似性を持った有限分岐的フラクタルの上にレジスタンスメトリックという距離を入れたとき、この上の拡散過程の熱核(基本解)の精密な評価が一般に可能であるという結果である。これまでに、図形に強い対称性がある場合には熱核のアーロンソン型の評価が得られていたが、今回の研究により、一般にはアーロンソン型の評価は成り立たないことがわかり、さらにショーティストパスの挙動との関連が詳しく調べられた。この結果を熊谷は共著の論文にまとめ、J.London Math.Soc.に掲載予定である。
2。インフィニット、ラミファイド(無限分岐的)フラクタルについては、ランダムシェルピンスキーカーペットに於ける拡散過程の熱核の研究を行い、サンプルとなるカーペットごとの熱核の詳しい評価が得られ、ランダムネスに強いエルゴード性の条件が課せられる時には、この評価からさらに確率1で成り立つ評価が導かれることが分かった。図形が高次元の場合、バーロー・バス達によるカップリングの方法を用いることによりハルナック不等式を証明することが議論の一つの鍵となった。この結果を熊谷は共著の論文にまとめ、投稿予定である。
3。ユークリッド空間での現象とのつながり、特にホモジナイゼーションについては、楠岡氏との共同研究以来くりこみ不変な点の安定性が問題になっている。本研究の中で、海外の学会等で関連した研究を行っている研究者達と議論を行い彼等のプレプリントを読むことによりいくつかの新たな手法、視点を得ることが出来たが、それを我々の範疇に適応するには依然いくつかの技術的困難が残っている。これは今後の課題である。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1996 - 1997

【配分額】1,800千円 (直接経費: 1,800千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】06452015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

流体力学極限 / 確率偏微分方程式 / 確率Burgers方程式 / Harnack不等式 / ランダム媒質 / 出生死滅過程 / 量子確率過程 / フラクタル / 差分作用素 / 熱核 / principal eigenfunction / 調和変換 / Dirichlet空間 / fractal / 拡散過程 / Liouville性 / マルコフ連鎖 / 再帰性 / 準安定挙動 / エントロピー / ギブス分布 / 大偏差原理 / 界面 / 反応拡散方程式 / 特異摂動 / バーガーズ方程式

【研究成果の概要】

6年度〜7年度(9月)の代表者の舟木は、まず格子上のHamilton系および格子気体モデルに対して統計力学における基本的な問題である流体力学極限を考察し、次いでランダムなノイズの加わった反応拡散方程式に対して反応項が大きくなるという特異摂動の問題を考え、方程式の解は時空の各点ごとに+1、-1に近づく。従って、二つの相+1、-1を分離するランダムな境面(界面)が現れることを示した。さらに、非線形波動を記述するBurgers方程式に対して初期値がランダムな場合について、種々の極限問題を取り扱った。また、Burgers方程式の拡散項のラプラシアンをそれの分数ベキで置き換えたとき、そのベキ数の解への影響について詳しく調べた。
市原は、色々な分野で重要な応用のある差分作用素に対し、大局的なHarnack不等式を証明し、そのポテンシャル論への一つの応用をしめした。また、数理物理などにおいて大変重要なランダム媒質の中の確率過程に関して、時間とともに変動するランダム媒質を導入し、それの下で運動する時間的非定常な出生死滅過程を定義し、このマルコフ過程の再帰性問題を、くりこみ理論の立場から論じた。特に、多次元格子上で再帰的及び非再帰的な例をそれぞれ構成した。
尾畑は、ホワイト・ノイズ超関数と量子確率過程論に関して種々の研究を行った。
熊谷は、フラクタル上の拡散過程の種々の特徴付け及びその拡散過程の熱核について長時間評価、短時間評価等を与えた。
その他の分担者も、それぞれ担当の分野で興味ある成果をおげた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1994 - 1996

【配分額】6,700千円 (直接経費: 6,700千円)