【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09640162 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

クライン群 / フックス群 / ハウスドルフ次元 / タイヒミュラー空間 / 擬等角写像 / 変形 / フラクタル集合 / 力学系 / 複素力学系 / 2重層ポランシャル / ホロノミー写像 / wandering domain / フラクタル / 2重層ポテンシャル

【研究成果の概要】

松崎は、クライン群による点の軌道の集積集合である極限集合(フラクタル集合)のハウスドルフ次元の評価を双曲多様体の幾何学的定数を用いて行い、n次元双曲的離散群の極限集合のハウスドルフ次元がnより小さいための条件を、対応する双曲多様体の幾何学的性質で記述した。さらにクライン群を変形させたときのハウスドルフ次元の連続性について考察した。また、パラメーター空間のなかで離散表現の集合の構造を解析したが、そのうちもっとも典型的な擬フックス群空間を考える際、リーマン面上の斜影構造の空間からのホロノミー写像を使ってその形状を調べる方法を提案した。さらに、クライン群に代数的に微少変形を与えたときの群としての構造の安定性に関する結果と、擬等角変形空間のなかの代数的位相とタイヒミュラー位相の同値性に関する結果を示した。
谷口は、整函数の力学系の変形理論を、タイヒミュラー空間論の立場から構築した。また、有理函数では現れない、wandering domainsやBaker domainsの基本的性質を、このような視点から明らかにした。また具体的な力学系の考察として,象眼指数函数族を集中的に調べ、その位相的完全性を示すことに成功し、さらにその対数的持ち上げの分岐を考察してそのファトウ成分のタイヒミュラー空間を明らかにした。
渡辺は、フラクタルな境界を持つ領域で、Direclet問題に関連した作用素KのBesov空間上の有界性について考察し、全空間上のリプシッツ関数に対しては、境界上のBesovノルムを、その関数の偏微分と境界からの距離の適当なべき乗の内部または外部の積分で評価できることを示し、Hormander型の極大関数の理論を使うことにより、境界がフラクタルな場合にも作用素KがあるBesov空間\で有界であることを証明した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】2,300千円 (直接経費: 2,300千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05640261 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

力学系 / エルゴード理論 / 確率過程 / フックス群 / 閉測地線 / 極限定理 / ビリヤード / フラクタル

【研究成果の概要】

有限生成第一種フックス群に付随した一次元力学系の時間発展を確率過程とみることによって、中心極限定理および局所極限定理を証明した。更に、このとき中心極限定理に現れる極限分散が非退化となる十分条件を力学系の軌道の性質を用いて表すことに成功した。この結果の幾何学的応用として、有限面積リーマン面上の向き付けられた閉測地線が数論における素数定理の類似をみたすことを導いた。
上のリーマン面の場合には閉測地線が丁度測地的流れという力学系の周期軌道であるのだが、周期軌道の分布について素数定理の類似の成立が期待されながらも、その証明が得られていないいくつかの力学系に対して我々の方法を試みた。その結果、撞球型の力学系に関して次の中間的成果を得た。まず、ポテンシャル域が互いに素な複数個の非負値中心力場の中を運動する質点を記述する力学系の周期軌道について、摂動撞球への帰着によって素数定理の類似を検証できた。次にシナイの撞球と呼ばれる古典力学のエルゴード問題で重要な力学系に関しては、測度論的に十分大きな部分系が存在して素数定理の類似を満たすということが示せたにすぎず、最終結果まで至れなかった。これはマルコフ分割を用いた符号化がこれまでのようにうまくいかなかったことに原因が有り、この技術的な問題を解決するのはこれからの課題の一つである。
これらの研究と並行して分数次元の相空間をもった力学系との関連でフラクタル上の拡散過程の推移確率密度の解析や、高次元の力学系の系統的研究の基礎として複素解折的な研究を行ない若干の結果を得た。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1993

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)