【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】15K04916 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

無限次元確率微分方程式 / ランダム行列 / 相互作用系 / 干渉ブラウン運動 / 干渉レヴィ過程 / スコロホッド方程式 / 浸透模型 / 行列式点過程 / 無限粒子系 / 確率微分方程式 / 長距離相互作用 / 対数ポテンシャル / 点過程 / ディリクレ形式 / ブラウン運動 / 行列式過程 / 強マルコフ性 / 末尾事象

【研究成果の概要】

近年の長田氏との共同研究により、長距離相互作用をもつ拡散型無限粒子系に対して、無限次元確率微分方程式に対する解の存在と一意性を導いた。この拡散系の結果を飛躍型無限粒子系(江崎氏との共同研究)、および無限剛体球系に対して一般化することに成功した。無限次元確率微分方程式の一意性の応用として、対応するディリクレ形式の一意性を導いた（長田氏、河本氏との共同研究）
Rahul Roy 氏との共同研究により、ユークリッド空間上に中心がポアッソン配置されたstick の繋がりから定まる浸透模型を導入し、stick の方向分布とクラスターの形状の関連を調べ、ある種の相転移現象を導いた。

【研究の社会的意義】

物理学、生物学、経済学、工学などで観察されている現象を確率過程で表しその性質を調べる研究は確率論の分野では盛んに行われている。無限粒子系に対しても確率過程での表現が行われているが、多くの場合、有限粒子系からの近似で得られており、極限確率過程の一意性が重要な問題として残る。本研究期間中での研究成果により、対象となる確率過程を無限次元確率微分方程式の解として表現し、その一意性を示すための一般論が構築された。この成果により無限粒子系に対する確率解析の適用を可能にすることができる。さらに、この理論は頑強であり、多くの現象に対しても応用可能であることから、学術的意義や社会的意義は高いと思われる。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2015-04-01 - 2019-03-31

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07304020 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確立過程 / 確率解析 / 数理ファイナンス / フラクタル / 流体力学極限 / エルゴ-ト理論 / 確率制御 / ブラウン運動 / 確率過程 / 確率微分方程式 / パーコレイション / 無限粒子系 / シュレ-ディンガー作用系 / 無限次元解析 / 極限定理 / 力学系

【研究成果の概要】

この研究は平成7年度と8年度にわたって行った。内容については研究成果報告書にあるように我国で行われている確立論の多くの分野にわたることについて計12日の研究集会を開き,研究情報の交換を行った。
特にその中でも,数学の他の分野,あるいは数学以外の分野との交流が多く持てたことに大へん意義があった。統計物理,数理生物,数理ファイナンス,数学の分野では討論,微分方程式,スペクトル理論,微分幾何,等々関連する分野の研究に親展があった。
また7年度と8年度に1度づつ夏の学校を開き,若い研究者,学生に対して現在活発に進行中の話題,つまり「流体力学極限」と「エルゴ-ト理論と数論」の2つの主題について,専門の研究者に連続講演をお願いした。これは,若い世代に自分の研究の方向付けを与えるものとして非常に意義深いものであったと思う。
さらに各分野を統合する研究集会を各年の12月に開催した。これにより,ともすれば狭い専門に限られて関心を広げることができたと思う。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1996

【配分額】17,500千円 (直接経費: 17,500千円)