Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

マルチンゲール / 確率場 / 最大不等式 / 無限次元解析 / 変化点問題 / 推定方程式 / 経験過程 / 弱収束 / 緊密性 / Cox モデル / セミパラメトリック統計 / 国際情報交換 / エントロピー / セミパラメトリック推定

従来、最大不等式を証明するためには chaining や bracketing の手法が採用されてきた。本研究では、無限次元マルチンゲールに対する確率的最大不等式を証明するための新手法の研究を行った。伊藤の公式により、高次元のマルチンゲールの最大値を多数のマルチンゲールの和の最大値に帰着させる手法を採用した。この手法は、Kolmogorov 以来の研究の流れに一石を投じるものである。

マルチンゲール / エントロピー / 漸近理論 / 中心極限定理 / 確率過程 / ノンパラメトリック推測 / 確率場 / 最大不等式 / 弱収束 / 確率解析 / 拡散過程 / 変化点 / 仮説検定 / 弱拘束

本研究は、これまで主に独立同一性の仮定で研究されてきたエントロピー法をマルチンゲールに拡張することであった。平成16度までにおいても有界変動をもつマルチンゲールの場合については研究されていたが、今年度においては、ジャンプを無限個もつような場合にまで拡張することに成功した。この結果によって、マルチンゲールに対するエントロピー法の理論は、少なくとも中心極限定理への応用を視野におく範囲に関しては最終結論に達したといえる。この結果は、Annals of Probability誌に投稿中であり、好意的なレビューを受けて改訂中である。
また、その応用として、レヴィ過程のノンパラメトリック推測の理論を展開した。特にNelson-Aalen推定量の汎関数の意味での漸近正規性を証明し、またそれが漸近有効であることも示した。その応用として、適合度検定のためのKolmogorov-Simrnov型統計量の漸近分布も導出した。これらの結果は統計学の基本的な部分に相当し、今後の研究の流れに大きな影響を与えると予想している。
本年度において、これらの成果を世界一流の研究者と議論すべく、さまざまな場で講演を行った。科学研究費補助金の援助を受け、ノルウェー大学において研究発表を行った。また、(科研費の援助ではないが)オランダ王国のGill教授、van der Vaart教授、van Zanten博士を訪ねて有益な議論を行った。このように、本研究は当初の予定通りの成果をもって終了することができた。今後の将来性も期待できる。

マルチンゲール / エントロピー / 中心極限定理 / 弱収束 / 最大不等式 / 最尤法 / M-推定 / ノンパラメトリクス / セミパラメトリクス / 収束率

本研究では大きく分けて2つの成果が得られた。第一に、一般の空間に値を取るcovariateを持つような非線型covariate点過程モデルへの応用を考察した。covariate空間を適切に分割し、それに対応したbandwidthをもつスムージングを行えば、multiplicative intensityモデルにおける結論が非線型モデルの場合にもそのまま成り立つことがわかった。この非線型モデルはLexisダイアグラムと呼ばれる有用な点過程モデルに帰着できるということも重要である。Lexisダイアグラムは、時代と年齢の効果を分析するコーホート解析において基本とされる手法であり、エントリー時刻が一定でない生存解析を行うために有用である。この特別な場合においては、驚くべきことに、漸近論に関する何らの仮定をおくことなくノンパラメトリック最尤推定量の収束率を導出できるということがわかった。
第二に、マーク付き点過程に関する確率積分の形で表されるマルチンゲールの族に対し、パラメータ集合のbracketingのエントロピーを用いて、汎中心極限定理が成り立つための十分条件を与えることに成功した。この定理はDonskerの定理の一般化にあたり、今後の幅広い応用が見込まれている。