【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】22540205 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

スペクトル統計 / ランダム作用素 / 点過程 / 自己共役性 / 漸近エルゴード性 / 確率エアリー作用素 / 確率論 / スペクトル理論 / ランダム行列 / 数理物理 / 数理物理学 / 準位統計

【研究成果の概要】

(1) 自己共役作用素の離散スペクトルが、あるスケーリングの下に定常点過程の典型的な実現に見えることの数学的定式化として「漸近エルゴード性」という概念を導入した。さらに、ある種の1次元シュレーディンガー作用素のスペクトルについて漸近エルゴード性を証明し、離散型アンダーソン・モデルに対しては部分的な結果を得た。
(2) 半直線上の1次元シュレーディンガー作用素Hで、ホワイトノイズと、正の無限大に発散する一様電場とをポテンシャル項に持つものを考え、ホワイトノイズ項の特異性にもかかわらず、Hが自己共役作用素として実現され、確率1で純離散スペクトルを持つことを証明した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2010-04-01 - 2014-03-31

【配分額】2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17540100 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

準位統計 / ランダム作用素 / アンダーソンモデル / 量子カオス / ゴルトン・ワトソン樹形図 / 分枝過程 / 数理物理 / 確率論 / unfolding / Galton-Watson樹形図 / 局所極限定理

【研究成果の概要】

本研究では点過程論の立場からランダム作用素のスペクトルの統計的な揺らぎの問題に対して一般的なアプローチを試みるとともに、ランダムなシュレーディンガー作用素の準位統計について具体的な研究を行った。また、これらと並行してランダム行列のトレースのモーメント評価の問題から派生して、ランダムな樹形図に関する確率論的な研究を行った。主な研究成果は次のとおりである。
1.エネルギー準位統計において量子ハミルトニアンのスペクトルを定常点過程の典型的な実現とみなすために行われるunfoldingという手続について、その数学的な定義を定式化した。
2.差分型のランダムなシュレーディンガー作用素について、unfolding後のスペクトルがポアソン点過程の典型的なサンプルに近づくことの証明を試みた。その結果、異なる2つの区間が作用素の固有値を同時に含む確率を評価することに証明が帰着することを明らかにした。しかしながら、その確率の評価ができなかったため、証明は現在のところ未完成である。
3.離散時間分枝過程の軌跡として得られるランダムな樹形図について、子供の数がk=0,1,,,,であるような頂点の個数の分布に関する局所極限定理を証明した。
4.各頂点が、空間的位置、年齢、種別などを表す「印」(mark)を持つような樹形図の空間に確率測度を導入するための一般的な定理を証明した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 300千円)