【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】22740054 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

無限粒子系 / 確率過程 / 統計力学 / ランダム行列 / KPZ方程式 / 無限可積分系 / 界面成長 / 非対称排他過程 / 揺らぎ / 行列式過程 / 可積分系

【研究成果の概要】

界面成長を記述するKardar-Parisi-Zhang(KPZ)方程式や、その離散版モデルの揺らぎについての研究を行った。特にレプリカ法とよばれる手法を用いて定常状態における１次元KPZ方程式の高さ分布と時空２点相関関数に対する明示的な表式を求めることに成功した。これらの量はこれまでいくつかの物理的な手法を用いて調べられていたが、近似無しに表式が得られたのは大きな進展である。また、非対称排他過程やq-TASEPと呼ばれる離散モデルに対して双対性を用いることにより、見通しよく揺らぎの性質を理解出来る事を示した。さらに多点分布や多成分系に対する揺らぎについてもいくつかの成果を得た。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2010-04-01 - 2014-03-31

【配分額】4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】19540114 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率過程 / 無限粒子系 / ランダム行列 / 非衝突過程 / ダイソン模型 / ベッセル過程 / 拡散過程 / 行列値過程 / Sturm-Liouville作用素 / パフィアン過程 / 彷徨過程

【研究成果の概要】

相関関数が行列式で表現される確率過程は、行列式過程と呼ばれている。本研究期間内で実施した研究により、非衝突ブラウン運動、非衝突2乗ベッセル過程が任意の初期値の下で行列式過程であることを多重直交多項式の理論を用いて証明した。そして、粒子数を無限大にしたときの収束について論じ、その結果として非平衡無限粒子系を構成することができた。さらに、得られた無限粒子系の道の連続性、非衝突性を確かめ、緩衝現象などの性質を示した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2010

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17340022 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

くりこみ群 / スケール極限 / 確率過程 / 力学系 / 非マルコフ / 自己回避経路 / 二分木 / 無限粒子系 / 確率ランキング模型 / Burgers方程式 / 固定点の唯一性 / 自己回避路 / 高次元ガスケット / 確率連鎖 / 流体力学極限 / 数理ファイナンス / ブラックショールズ / 非マルコフ確率過程 / 自己抑制経路 / 変位の指数

【研究成果の概要】

確率モデルのくりこみ群による解析という立場の中で, 確率過程の漸近的性質の導出を中心にして, 新しい解析学としてのくりこみ群の可能性を追求した.成果のいくつかは, 服部哲弥著「ランダムウォークとくりこみ群」(共立出版, 2004)に示した構想を進展させるものである. 目的の一環として, 現象に動機づけられた理論的描像に基づく新しい確率過程の可能性を探り, 成果の実際的な問題への応用も視野に入れた.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】14,860千円 (直接経費: 13,000千円、間接経費: 1,860千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07304020 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確立過程 / 確率解析 / 数理ファイナンス / フラクタル / 流体力学極限 / エルゴ-ト理論 / 確率制御 / ブラウン運動 / 確率過程 / 確率微分方程式 / パーコレイション / 無限粒子系 / シュレ-ディンガー作用系 / 無限次元解析 / 極限定理 / 力学系

【研究成果の概要】

この研究は平成7年度と8年度にわたって行った。内容については研究成果報告書にあるように我国で行われている確立論の多くの分野にわたることについて計12日の研究集会を開き,研究情報の交換を行った。
特にその中でも,数学の他の分野,あるいは数学以外の分野との交流が多く持てたことに大へん意義があった。統計物理,数理生物,数理ファイナンス,数学の分野では討論,微分方程式,スペクトル理論,微分幾何,等々関連する分野の研究に親展があった。
また7年度と8年度に1度づつ夏の学校を開き,若い研究者,学生に対して現在活発に進行中の話題,つまり「流体力学極限」と「エルゴ-ト理論と数論」の2つの主題について,専門の研究者に連続講演をお願いした。これは,若い世代に自分の研究の方向付けを与えるものとして非常に意義深いものであったと思う。
さらに各分野を統合する研究集会を各年の12月に開催した。これにより,ともすれば狭い専門に限られて関心を広げることができたと思う。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1996

【配分額】17,500千円 (直接経費: 17,500千円)