Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

数学の哲学 / 計算の哲学 / 数学基礎論 / 論理学の哲学 / 証明論 / 集合論 / 数理論理学 / 哲学

現代の数学の哲学には (1) 数学の算術および集合論への還元，(2) 一階論理上での集合論の公理化，(3) 一階論理による証明概念の形式化，(4) チューリング機械による計算可能性の特徴付けという[四つの原理]がある．本研究はこの［四つの原理］と現代の[標準的数学観]の関係，［四つの原理］とそれらの相互の関係をに検討することで，数学の哲学の新たな展開と，計算・推論・情報の概念の哲学的解明を目指すものである．2020年度中は新型コロナウイルス感染症の拡大の影響のため研究会やワークショップの開催ができなかった．そのため，2020年度中は分担者の個人研究及び共同研究によって研究を実施し，以下の成果を得た．(1) 意味論と価値論の関係，システムの概念の分析を行なった．特に，意味論と構文論の関係と主観と客観の関係の同型性，要素・全体・環境という三層構造における機能の概念に基づくフレーゲの文脈原理および合成原理の再解釈を行なった．(2) PRA 証明論，証明論的順序構造と項書き換え系，図的情報提示の論理デザインのための社会心理学的調査，線形論理の観点による存在論的 TM 意味論研究，デフォルト推論の意味論と computer security への応用を考察した．(3) 直観主義論理（あるいはそれよりさらに弱い最少論理）に特殊な命題定項を加えた拡張言語への強い論理（古典論理等）の埋め込みについて議論した．(4) フレーゲの関数概念とラムダ抽象の関係の再考を行ない，フレーゲの関数概念には表現におていも内容においても未熟で不整合な点があることについて議論した．

証明論 / 数学基礎論 / 数理論理学 / 順序数 / イプシロン代入法

イプシロン代入法に関しては、帰納的マーロ順序数と弱コンパクト基数の帰納的類似物について研究を行った。その他、証明論全般についての考察や計算量理論と関連する研究も行った。

数理論理学 / 数学基礎論 / 証明論 / 集合論 / 模型論 / 構成的数学 / 帰納論 / 超準解析 / 数学史 / 超準解析数学史

本研究では、以下のとおり、五つの研究班を組織した。各班は互に情報交換を行ない、随時研究集会を開き、研究発表、討論を行なった。以下に各班毎に、主な研究成果を列参する。
I班(証明論・方法論):弱いinductive definitimを持ったanthmeticとordinalの関係が明らかにされた。Peame arithmetic及びその部分体系におけるreflection principleや,Paris-Harrinton principleとそれと同等の命題に関する結果が得られた。fundamental sequencesのbuilt-up systemの一般化が得られた。
II班(集合論・模型論):modalityを有する集合論とintemsimalityを有する集合論が提出された。アーベル群の構成と巨大基数との関連付けがなされた。W-stable ringsの諸性質があきらかにされた。
III班(構成的数学・一般帰納論):Fuzzy計算可能性の理論が作られた。Beesonの体系RRSの無矛盾性証明がなされた。証明論的汎関数の二階建て理論が作られた。
IV班(論理構造論):中間述語論理での量化子による様相演算子の解釈が得られた。構造規則を一部分しか持たない論理について、そのシンタクスとセマンディクス、及びラムダ計算やカテゴリー文法とその関係が統一的に論じられた。
V班(超準空間論):非有限論理での無限小微積分の解釈がなされた。iterated polynomialに関する超準解析における種々の性質が明らかにされた。Hilbertの既約性定理に関し、Z-Jfが有限なるための条件が与えられ、その限界が多項式として与えられることが示された。一つの超準集合論の中で、NST、TST、NATE、NS_2、*NSTの五種類の超準集合論のモデルが存在することが示された。

【研究分担者】
岡本賢吾	東京都立大学	人文科学研究科	教授	(Kakenデータベース)
岡田光弘	慶應義塾大学	文学部(三田)	名誉教授	(Kakenデータベース)
三好博之	京都産業大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)

【研究分担者】
白井古希男	静岡大学	理学部	助教授	(Kakenデータベース)
梅沢敏郎	静岡大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
江田勝哉	筑波大学	数学系	助教授	(Kakenデータベース)
本橋信義	筑波大学	数学系	教授	(Kakenデータベース)
西村敏男	筑波大学	数学系	教授	(Kakenデータベース)
八杉満利子	京都産業大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
難波完爾	東京大学	教養学部	教授	(Kakenデータベース)