組合せ幾何に関する研究
【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)
【研究キーワード】
位相幾何学的グラフ理論 / 三角形分割 / 四角形分割 / 染色数 / representativity / ハミルトン性 / 閉曲面 / グラフ理論 / 本型空間 / 対角変形 / 向き付け不可能曲面 / グラフ / 埋め込み
【研究成果の概要】
幾何学的対象に埋め込まれたグラフの研究としては,まず閉曲面の三角形分割や四角形分割についての研究を行った.三角形分割に対しては,対角変形と呼ばれる基本変形による推移可能性に関しての研究を引き続き進め,次数制約のついた問題や,外平面グラフの拡張である外三角形分割について結果を得た.また,平面上の三角形分割であって,他の閉曲面の四角形分割としても埋め込むことのできるグラフについて,曲面が向き付け可能かどうかに依存して,グラフの組合せ的性質が重要な役割を果たしているという,興味深い結果を得た.
この結果に見られるような,向き付け不可能な曲面特有の性質として,向き付け可能曲面に切り開ける奇閉路が存在するような四角形分割は,染色数が4以上になることを示した.ここで用いられた議論をトーラスとクラインの壺に適用することによって,それらの曲面の四角形分割の染色数は,ある位相幾何学的性質によって特徴付けられることを示した.さらに,一般の閉曲面の四角形分割においては,閉路の偶奇性に関連した閉曲面の代数的不変量が,染色数に影響を及ぼすことがわかった.
本研究の目的のひとつに,平面において知られていた事実を一般の閉曲面へ拡張するための一般的道具立ての開発を挙げていたが,閉曲面上の3連結グラフで,representativityの高いものに対して,それを切り開き,元の構造をあまり破壊せずに全域部分グラフとなる平面グラフを得る手法を開発した.この手法により,そのような3連結グラフがどの程度ハミルトン性に近い性質を持つか,という問いに対する答えとして,最大次数4以下の全域木に関するもの,最大次数8以下の全域2連結部分グラフの存在,次数和の小さい連結部分グラフに関する漸近的に最善の結果を証明した.
【研究代表者】