マルコフ過程の分布と路の漸近解体
【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)
【研究キーワード】
ランダムウォーク / 確率数値解析 / 無限粒子系 / グラフ上のラプラシアン / 調和写像 / スペクトル構造 / 重調和作用素 / operator代数 / グラフの上のラプラシアン / 碓率数値解析 / モンテカルロ解析 / 無縁Brown粒子系 / スペクトル / ラプラシアン
【研究成果の概要】
本課題研究において、志村はドリフトを持つ2次元ランダムウォークの象限からの脱出確率の漸近解析についてモンテカルロ法の手法を援用して調べた(課題1a)。また問題とrandom walk defined on a Markov chainとの関わりを検討した。西岡は重調和生成作用素とする重調和擬過程に対する「Itoの算法公式」と「Radon-Nikodym公式」を求め、さらにその応用として流体力学などに現れる重調和生成作用素を伴う準線形偏微分方程式の解について、その存在、漸近的性質および数値解析について取り組んだ(課題2a)。種村はhard core potentialをもつ無限Brown粒子系の法則の一意性とエルゴード性について、Dirichlet形式の理論を応用してより詳細に調べ上げた(課題1c)。小谷は無限グラフ上のランダムウォークの遷移確率の漸近挙動について、幾何学的手法を適用して調べた(課題1b)。小谷はポテンシャル場が作用する可積分系が定める曲面上の調和写像のスペクトル構造についても調べた(課題2b)。塚田は確率過程、あるいは無限粒子系に関する統計量の十分性のoperator代数的手法を適用して調べた(課題1c)。大口はファイナンスに現れるマルコフ連鎖の数値解析と準乱数の利用について調べた(課題1)。
今後の課題として、例えば次のものが考えられる。(課題1関係)遷移確率が空間的周期性のある、あるいはランダムに選ばれる一般化されたランダムウォークについて、諸量の分布の漸近解析を行う。(課題2a関係)重調和擬過程で可能となった確率的手法を、Kuramoto-Sivashinsky方程式やCahn-Hilliar方程式などの重調和作用素を含む非線形微分方程式へも応用する。
本課題を進めるため適宜研究打ち合わせを行った(志村、小谷、大口、塚田:10年6月-9月、11年1月;志村、西岡、種村:10年11月20日-23日、11年8月19日-22日、11年11月6日-9日、12年3月3日-5日)。本課題を推進するために近藤通朗(島根大学)、平野克博(大阪大学)、渡辺毅(岡山理科大)、本尾実(東京工業大学)、山田俊雄(立命館大学)、佐藤定夫(東京電機大学)の各氏を招き研究成果の交換を行った。
【研究代表者】