Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

ナビエ・ストークス方程式 / プリミティブ方程式 / 領域摂動誤差 / 不連続ガレルキン法 / 動弾性体方程式 / 接触・摩擦境界条件 / Navier-Stokes方程式 / 摩擦型境界条件 / 有限要素法 / 誤差評価 / 領域摂動

(1) 大気や海洋のように、水平方向のスケールが垂直方向のスケールよりも大きな場合（数学的にはアスペクト比0の極限において）、流体の運動を表すナビエ・ストークス方程式から静水圧平衡を満たすプリミティブ方程式が導出される。この議論の数学的正当化は、周期境界条件の場合について知られていた。我々は物理的により重要な滑りなし条件の場合でも同様の結果を得ることができた。
(2) 不連続ガレルキン(DG)法は有限要素法の一種で、隣り合う要素間で不連続な基底関数を許容することにより、自由度の高い近似空間を実現する手法である。近似したい偏微分方程式の解は要素間でも滑らか（連続）になるものを想定するが、連続性の条件は関数空間でなく弱形式にペナルティー項として反映されているという特徴がある。通常のDG法のスキームでは各要素がつぶれていないという正則性条件が必要だったが、我々は外接半径条件という緩いメッシュ条件で通用するDG法のスキームを開発することに成功した。
(3) 領域内部と境界上で楕円形偏微分方程式を考え、それら2つがノイマン作用素を通じて相互作用するモデルを一般化ロバン境界条件という。一般化ロバン境界条件は、流体構造練成問題の次数低減モデルや、近年注目を集める動的境界条件問題に対するプロトタイプとして登場し、曲がった境界を持つ一般領域における理論数値解析の結果を確立することは重要な課題となっている。我々は、曲がった境界を多角形近似することで生じる領域摂動も考慮し、有限要素法の誤差評価を導くことに成功した。

有限要素法 / Navier-Stokes方程式 / 領域摂動 / Primitive方程式 / 最大正則性 / Stokes-Darcy問題 / 不連続Galerkin法 / Euler方程式 / 摩擦型境界条件 / 誤差評価 / プリミティブ方程式 / 時間大域解 / 応用数学 / 流体

流体の運動を表す偏微分方程式に対する数学解析と数値解析の研究を行った。数学解析としては、大気や海洋の振る舞いを記述する基礎方程式として知られるPrimitive方程式を対象として、数学的な解がきちんと存在することを示し、流体の支配方程式としてより一般的なNavier-Stokes方程式との関係を明らかにした。数値解析としては、数値シミュレーション手法の一つである有限要素法を考察し、滑らかな領域の偏微分方程式に用いられた場合における数学的正当化を行った。

流体の数値シミュレーションにおいては、数値計算手法の急速な発展に比べて、数学的議論を用いた正当化が追いついていない面がある。本研究課題で得られた成果は、数学解析と数値解析の両面からアプローチを行い、欠落している数学的正当化を確立することを試みたものである。経験則で確認するという側面が強かった数値シミュレーションの妥当性を数学理論の面からもサポートし、流体数理の発展に寄与することが期待される。