【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】21540089 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

微分トポロジー / 結び目のエネルギー / エネルギー / 共形幾何学 / 結び目 / ポテンシャル

【研究成果の概要】

ユークリッド空間内の領域に対して、繰り込まれたポテンシャルの1パラメータ族を導入した。パラメータの値を固定したときに、そのポテンシャルを最大(あるいは最小)にする点が唯一になるための十分条件を与えた。ポテンシャルの特別な場合を領域で積分したものの繰り込みを用い、結び目とランダムな円との絡み数の二乗の平均の繰り込みを得た。これはメビウス変換で不変な量となる。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】19540096 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

共形幾何学 / 結び目 / エネルギー

【研究成果の概要】

幾何学的結び目理論を共形幾何学的な観点から研究するために必要な共形幾何学の基礎付けを行った。成果の一例として、曲線の共形的弧長は、その曲線の接触円全体のなす集合の1/2次元的弧長と等しいことを示した

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2008

【配分額】1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】17540089 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

トポロジー / 結び目理論 / エネルギー / 共形幾何学

【研究成果の概要】

曲線、曲面の共形幾何学(フランスのランジュヴァン氏との共同研究):
3次元球面の中の曲線があると、その2次の配置空間上に無限小非調和比と呼ばれる、複素値2次形式を定義することが出来る。これは、曲線上のx, x+dx, y, y+dyの四点を通る2次元球面を、立体射影を通じて複素球面と同一視して、その四点の非調和比をとることにより得られる。定義より、無限小非調和比はメビウス変換で不変である。この実部と虚部の意味づけを得た。
3次元球面を5次元のミンコフスキー空間の中に実現する。n次元球面のなかのp次元の球面のなす空間S(p,3)をプリュッカー座標を用いて構成すると、不定値な計量を持つ空間になる。3次元球面の中の曲線Cの2次の配置空間CxC-Δは、S(0,3)の曲面とみなす事が出来る。無限小非調和比の実部は、この曲面の面積要素の絶対値と一致する。また、S(0,3)は3次元球面の余接束と同型となることが分り、従って標準的なシンプレクティック形式を持つが、無限小非調和比の実部は、それとも一致する。
平面リンケージのトポロジー:
また、結び目全体の空間の有限次元版として、折れ線結び目のなす空間にも興味を持っている。ある種の平面リンケージの族の配置空間の位相型の決定を研究した。具体的には、端点が円周上の等間隔の点に固定されていて、中点がその回りを回転することが可能な関節となっていて、長さが同じn本の腕を持ち、平面内を動くことができるロボットの配置空間(向き付け可能な閉曲面になる)の位相型を、トポロジカルな方法と、モース理論を用いた方法で決定した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2005 - 2006

【配分額】2,800千円 (直接経費: 2,800千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】15540088 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

結び目 / エネルギー汎関数 / 共形幾何学 / エネルギー / 共形幾何 / メビウス変換 / 非調和比

【研究成果の概要】

n次元球面の中の曲線があると、その2次の配置空間上に無限小非調和比と呼ばれる、複素値2次形式を定義することが出来る。これは、曲線上のx,x+dx,y,y+dyの四点を通る2次元球面を、立体射影を通じて複素球面と同一視して、その四点の非調和比をとることにより得られる。定義より、無限小非調和比はメビウス変換で不変である。このこの実部と虚部の新しい意味づけを得た。
n次元球面をn+2次元のミンコフスキー空間の中に実現する。n次元球面のなかのp次元の球面のなす空間S(n,p)をプリュッカー座標を用いて構成すると、不定値な計量を持つ空間になる。n次元球面の中の曲線の2次の配置空間は、S(n,0)の曲面とみなす事が出来る。無限小非調和比の実部は、この曲面の面積要素の絶対値と一致する。
一方、n次元球面を(n+1)次元の双曲空間の(無限遠の)境界とみなす。n次元球面の中の曲線上の点xと点yを結ぶ(n+1)次元の双曲空間の測地線1上の一点をとり、1に直交する超平面Pをとる。曲線上の点xの近傍の点x'と点yの近傍の点y'を結ぶ(n+1)次元の双曲空間の測地線とPの交点を考えることにより、P内に曲面ができる。(x,y)における無限小非調和比の虚部は、この曲面の面積要素と等しい。
また、S(n,p)に、共形不変な計量とそれに付随する測度を定義し、それを用いて、結び目や絡み目、曲面の共形不変な汎関数を定義した。
(以上は、平成15年度の研究代表者の今井が、平成16年度に約7ヶ月フランスに海外出張して、海外共同研究者であるRemi Langevin氏と共同研究して得られた結果である。研究経費の一部は、平成15年度にLangevin氏を日本に招聘するのに使用した。)

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2004

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)