【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】10440021 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

シンプレクティック構造 / ケーラー構造 / 標準束 / 反標準束 / Kahler-Einstein計量 / 小林-Hitchin対応 / 二木指標 / 安定性 / シンプレティック構造 / Tian / Kahler-Einstein軽量 / 複数幾何 / 複素幾何

【研究成果の概要】

コンパクトなケーラー多様体上の正則ベクトル束に対する小林-Hitchin対応の動場版として.Chow-mumfordの意味での安定性を微分幾何学的な概念で言い換えようという試みが.Tianらによって始まっている。
(1)我々は、対応の基礎となる-意性定理がKahler-Einstein計量の自然な一般化に対しても成りたつことを示した。(これは最近のTian-Zhuの仕事と競合している。)
また.対応の動場版そのものについては、次の2方向から研究した。
(2)中川との共同研究で.板東・カラビ・二木指標を.多様体の半安定性への障害として特徴付けることに成功した。この結果は藤木の先駆的な仕事に多くのものを負っている。
(3)偏極多様体の場合は漸近的な安定性が問題になるが,これは複素解析的には漸近的に構成されるベルグマン計量の存在と深くかかわってくることが分かった。そして現在では、小林-Hitchin対応の動場版のasymptotic versionを.主にこの方向から集中的から組織的の研究している。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】11,600千円 (直接経費: 11,600千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】09640084 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

階数1対象空間 / CR構造 / 調和写像 / 極小写像 / Klein群 / 共形平担多様体 / Einstein-Kahler計量 / 安定性 / 階数1対称空間 / アインシュタイン計量 / 二木指標 / クライン群 / 共形平坦多様体 / 複素クライン群 / 擬エルミート構造 / アインシュタイン・ケーラー計量 / 平均曲率一定曲面

【研究成果の概要】

研究代表者・納谷信は,階数1対称空間の離散変換群の無限遠境界への作用を考え,その不連続領域上に定義される群作用で不変な標準的計量の研究を行なった.とくに,対称空間が複素双曲空間の場合に,商多様体のコホモロジー群の消滅について研究をすすめるとともに,CR構造,擬エルミート構造,田中-Webster接続の四元数的類似を定式化し,対称空間が四元数双曲空間の場合の標準的計量の研究に応用した.また,階数2以上の対称空間の場合への一般化に向けて,Furstenberg境界上の幾何構造について考察し,若干の知見を得た.
研究分担者・芥川和雄は,双曲型空間からある非完備な負曲率リーマン多様体への調和写像の研究を行った.とくに,その無限遠境界値問題の解の存在・一意性・正則性に関する結果を得た。また,リーマン多様体の間の極小写像に関して基礎的研究を行い,双曲円板の間の極小微分同相写像について,その存在・表現に関する結果を得た.
井関裕靖は,球面の領域をKlein群の作用で割って得られる共形平坦多様体上の平坦Hilbert空間束のコホモロジーに対する消滅定理を証明し,Klein群の極限集合のHausdorff次元の研究への応用を与えた.
中川泰宏は,Einstein-Kahler計量の存在に対する障害である二木指標を一般化した板東-Calabi-二木指標について考察した.二木指標については,これをGodbillon-Vay不変量として解釈するという二木-森田の結果が知られているが,この結果を板東-Calabi-二木指標の場合に拡張した.
西川青季は,上野慶介氏(山形大学)と共同で,負曲率等質多様体間の調和写像の無限遠境界値問題に関して研究を行った.とくに,対称空間でない負曲率等質多様体の典型的例を与えるCarnot空間の間の調和写像の無限遠境界値問題に対して,境界値がみたすべき必要条件,解の一意性,および適切な必要条件をみたす境界値に対する解の存在を証明した.
板東重稔は,ケーラー多様体や複素正則ベクトル束におけるアインシュタイン計量の存在問題,および安定性・退化現象との関連を研究した.また,安定性が成り立たないときにに発生する退化現象の極限として出現する特異幾何構造の研究も行った.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】3,100千円 (直接経費: 3,100千円)

【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】09440027 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

アインシュタイン / 調和写像 / カルノー群 / グラフのラプラス作用素 / トーリック多様体 / 反応拡散方程式系 / 複素クライン群 / 二木指標 / 安定性 / グリーン関数 / カルノ-群

【研究成果の概要】

・板東は、ケーラー多様体や複素正則ベクトル束のアインシュタイン計量の存在問題を研究した。アインシュタイン計量の存在と多様体の安定性は密接な関係があると思われるが、それに関わる汎関数の有用な表示を得た。また、調和な幾何学的対象の存在をグリーン関数を用いて研究する論文を纏めた。
・西川は、上野慶介氏(山形大学)と共同で、負曲率等質多様体間の調和写像の無限遠境界値問題と、複素双曲型空間形の間の調和写像の複素解析性に関して研究を行った。境界までC^4級にのびる固有な調和写像で、理想境界上で非退化なCR写像であるものは、正則写像に他ならないことを示した。
・浦川は、調和写像、ヤングミルズ接続などの研究を引続き行なう一方、それらの手法を離散化してグラフ上で行ない、有限、または無限グラフのラプラス作用素のスペクトル、グリーン核などの評価、調和写像の離散的なアナロジーなどの研究を行なった。
・石田は、トーリック多様体と密接な関係のある(有理)扇の拡張である実扇を研究した。実扇上の次数付き外積加群のカテゴリーを導入し、そこでの双対化関手を定義し、セールの双対性定理やポアンカレの双対性定理に相当する定理を示した。
・高木は、生物の形態形成の基礎モデルとしてA.GiererとH.Meinhardtによって提唱された反応拡散方程式系に関する研究と、赤血球の形態変換のモデルとなる曲げエネルギー汎函数に対する制約極値問題に関する研究を行った。
・井関は、実双曲空間に作用するクライン群のエントロピー剛性および凸ココンパクト性に関する研究を行った。凸ココンパクトなクライン群の極限集合のハウスドルフ次元と、群のコホモロジー次元の間の不等式に関する予想を部分的に解決した。
・中川は、板東・Calabi・二木指標について研究し、Fano多様体の場合にわかっていたいくつかの性質を、一般の射影的代数多様体のKahler類にまで拡張した。ある仮定の下で、板東・Calabi・二木指標の羃単部分群のLie環の上の消滅や、板東・Calabi・二木指標の群の指標へと持ち上げの存在を示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】13,700千円 (直接経費: 13,700千円)