【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】17204001 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

代数多様体 / 代数的ファイバー空間 / 極小モデル / 標準因子 / 連接層 / 導来圏 / 半直交分解 / フリップ / 極小モデル・プログラム / 単純特異点 / カラビヤウ多様体 / 半正値性定理 / 混合ホッジ構造 / 標準環 / 境界因子 / 対数対 / フロップ / 巨大因子 / 端射線 / termination / abundance / difficulty / 代数的フアイバー空間 / スタック / トーリック多様体

【研究成果の概要】

極小モデル理論において残された予想(フリップの終結予想とアバンダンス予想)の研究を行い、因子の空間の有理多面体への分割構造を中心として結果を得た。とくに、双有理同値な極小モデルはフロップの列で結べることを証明した。また、極小モデル理論における基本的操作と導来圏の半直交分解との対応に注目し、商特異点や単純特異点のみをもつような代数多様体に対して良い導来圏の定義を見出し、極小モデル理論との関係を証明した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】49,660千円 (直接経費: 38,200千円、間接経費: 11,460千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】14340003 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

極小モデル / 導来圏 / 代数多様体 / 双有理 / トーリック多様体 / スタック / フリップ / フロップ / 極小モデル理論 / グラスマン多様体 / 消滅定理 / 双有理幾何学 / 連接層 / 標準因子 / 双有理同値 / K同値 / D同値

【研究成果の概要】

代数多様体の極小モデルと導来圏の関係を中心に研究した.導来圏はKontsevichのホモロジー的ミラー対称性予想の提唱以来注目を集めているホットな研究対象であるが,極小モデル理論の立場から見ても自然な対象であり,見かけの複雑さの奥に美しい単純さを備えていることがわかってきた.論文「D-equivalence and K-equivalence」(D同値とK同値)においては,二つの代数多様体が同値な導来圏を持つ(D同値)ことと,それらが双有理同値である場合に標準因子(Kであらわす)の共通特異点解消への引き戻しが一致する(K同値)ということとが同値であるという予想を立てた.そして,標準的フリップや3次元の一般のフロップの場合にこの予想が正しいことを証明した.この論文は高く評価され,発表以降多くの文献で引用されるようになっている.Bourbakiセミナーでも,以下に説明する論文とともに紹介された.
極小モデル理論においては特異点を持つ多様体が必然的に現れてくるので,その後の論文では特異点を持った多様体への拡張を考えた.そして,適当な条件の元にDeligne-Mumfordスタックを構成し,拡張した予想を証明した.例えば,トーリック多様体の場合には,完全に予想を証明することができ,極小モデル理論と導来圏の理論の間の関係に見通しを与えることができた.また,Grassmann多様体G(2,4)上の余接束に対して構成されたフロップなどの場合にも予想を証明した.さらに,比較的簡単な構造をもった代数多様体に対して,その導来圏を決定するという問題を考え,トーリック多様体の導来圏は連接層の特異列で生成されるということを証明した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2002 - 2004

【配分額】8,200千円 (直接経費: 8,200千円)