偏微分方程式と微分幾何の特異点論的研究
【研究分野】幾何学
【研究キーワード】
アイコナル方程式 / 重力レンズ / ミンコフスキー空間 / 線織面 / 4頂点定理 / 双曲的ガウス写像 / ラグランジュはめ込み / 弱解 / ヘルムホルツ方程式 / 漸近解 / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 衝撃波 / 特異点 / ダルブー可展開面 / コンピュータグラフィックス / 特性曲線 / ローレンツ微分幾何学 / 双曲平面 / ベルトラン曲線 / コンピュータ・グラフィックス / ヘルムポルツ方程式 / ラグランジュ特異点 / モンジュ・アンペール方程式 / ローレンツ微分幾何 / 光的曲面 / 双曲的縮閉線
【研究成果の概要】
当研究では,偏微分方程式および各種微分幾何学への特異点論の応用を通して,弱解の特異点や衝撃波の生成・伝播の解明や新たな微分幾何学的不変量の発見など,20世紀数学で手付かずの(特に特異点と関係した)部分に対する本質的発展が得られた.さらに,これらの成果を一般化および汎用化するのが,今後の研究課題であると思われる.具体的には,海洋音響学に現れるヘルムホルツ方程式に対応するアイコナル方程式の特異性(特に,境界があったり,滑らかでない場合)の解明,粘正解およびエントロピー解を含むような弱解の概念の一般化,4頂点定理の統一的扱い,平均曲率一定曲面を大量に構成する方法の開発し多重重力場レンズ現象を記述するシンプレクテイック幾何学的枠組みの構成,双曲空間内の超曲面の双曲的ガウス写像の特異点の研究と双曲的不変量の構成,4次元ミンコフスキー空間的曲面の光的ガウス写像を定義しその特異点の幾何学的意味づけなどを実施した.
さらに,最終年度では,特異点を持つような平面曲線のシンプレクテイック微分同相による分類を実行し,従来の微分同相による分類との差がある種のシンプレクテイックな不変量となることを示した.積分可能な測地流をもつリュウビル多様体の研究も進展させた.また,特殊な曲面である,線織面とある種の特殊曲線の関係付けや,建築学で重要な線織面の特異点の分類,さらには,生成的な線叢の特異点の分類を実施し,そのリストが3次元空間の間の一般の滑らかな写像の特異点の生成的特異点と同値になることを示した.また,線叢のなかで重要なものとして,ある曲面の法線からなる線叢(法線叢)があるが,その特徴付けとして,3次元空間の余接束への標準的な持ち上げがラグランジュはめ込みとなることが上げられることを示した.
【研究代表者】