微分力学系の研究
【研究分野】代数学・幾何学
【研究キーワード】
場の量子論 / 格子系 / ゲージ理論 / 場の発散 / 平担な接続 / アノマリー / 相転移 / K.M.S状態 / ゲージ接続 / 平坦拡張定理 / 非可変微分幾何 / 量子場の発散 / algebroid / 指数定理 / Gauss-Bonnet定理 / Singular pertuvbation / flat connection / Diff.eq.of Fuchsian Type / dynamical system / singular pertubation / constrained sysytem / quantum field theory / gauge connection / renormalization / anomaly / B.R.S.transformation
【研究成果の概要】
微分力学系の研究として、場の量子論及び格子力学系を考察した。場の量子論では、発散の幾何学的考察がなされ、格子系に於いては、相転移の数学理論(確率論とC^*-代数による)を構成することがなされた。以下、別個にこれらを報告する。
(1)場の量子論に於ける発散とその幾何学
ゲージ理論に於いては、物理的にはともかく数学的に発散の概念は定義されていないようである。今度の研究に於いて、ゲージ接続 代数的に定義することにより-これを分解による方法とよぶことにする-発散の概念を定義することが可能になった。この様な手法はConnesの非可換微分幾何に見られる様に近年益々一般的になりつつことに注意する。この方法により、次の事柄を示すことができる。すべてのゲージ接続は発散を許すなら、平担な接続に拡張される(これを平担拡張定理という)。古典系は発散をもたず、この事実により非線形ゲージ場は、自由場の解を分解することにより得られることが示される。量子系では発散が生じるのが通常である。この発散にGauss-Bonnet型の定理(一種の留数定理)を示すことにより、アノマリー、指数定理を示すことができる。
(2)格子系の相転移についての数学理論
物性論を中心とする物理においては、格子系を考察するにあたり、通例期待値のみをとりあげ、それを定める力学系そのものを考察することは少なくない。ここではC^*-代数に於ける微分論の手法を用いて、力学系の構成、相転移の数学的定義(K.M.S-状態)が与えられるようになった。又かなり一般的な条件のもとで相転移がいつ存在しないかも議論されるようになった。特に一次元のとき、相転移がないことも示される。
【研究代表者】