【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】17204001 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

代数多様体 / 代数的ファイバー空間 / 極小モデル / 標準因子 / 連接層 / 導来圏 / 半直交分解 / フリップ / 極小モデル・プログラム / 単純特異点 / カラビヤウ多様体 / 半正値性定理 / 混合ホッジ構造 / 標準環 / 境界因子 / 対数対 / フロップ / 巨大因子 / 端射線 / termination / abundance / difficulty / 代数的フアイバー空間 / スタック / トーリック多様体

【研究成果の概要】

極小モデル理論において残された予想(フリップの終結予想とアバンダンス予想)の研究を行い、因子の空間の有理多面体への分割構造を中心として結果を得た。とくに、双有理同値な極小モデルはフロップの列で結べることを証明した。また、極小モデル理論における基本的操作と導来圏の半直交分解との対応に注目し、商特異点や単純特異点のみをもつような代数多様体に対して良い導来圏の定義を見出し、極小モデル理論との関係を証明した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】49,660千円 (直接経費: 38,200千円、間接経費: 11,460千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】16340004 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Qコニック束 / K3曲面 / 端末特異点 / 因子収縮射 / フロップ / 複素シンプレクティック多様体 / ファノ多様体 / 極小モデル理論 / 端射線 / del Pezzo曲面 / 逆同伴 / 乗数イデアル / ポアソン変形 / モジュライ空間 / シンプレクテイック特異点 / 変形 / 対数的標準特異点 / b関数 / フリップ / 標準特異点 / general elephant予想 / 因子収縮写像 / 導来圏 / Fano多様体 / Zariski分解 / Chow群

【研究成果の概要】

森はProkhorovと共同で,端末的3次元Qコニック束の底曲面の特異点に関するIskovskikh予想を証明し特異点上のファイバーも分類した.向井は次数24の原始的に偏極付けられたK3曲面の具体的記述を与え、モジュライと普遍族の単有理性も証明した.並河は向井フロップに対して連接層の導来圏の圏同値を明示した.また,射影的複素シンプレクティック多様体について,変形による非特異化可能性とクレパント特異点解消の存在の同値性を示した.中山は代数多様体の因子の数値的研究を出版した.藤本圭男と共同で,次数>1の全射自己写像を持ち小平次元が非負な3次元非特異射影的代数多様体の構造も決定した.川北は,因子を指数>1の点に潰す3次元因子収縮射の明示的研究を出版し,対数的標準性に関する逆同伴定理も証明した.小木曽は,細野,Lian, Yauと共同で,複素射影K3曲面のFourier・向井対の個数を与える明示的公式を示した.複素K3曲面に作用しうる最大の有限可解群も決定した.高木は,端末商特異点のみを持ち、指数>1の第1種3次元ファノ多様体のうち,反標準系に関するgeneral elephant予想が成立するもの全てを分類した.齋藤は,Budur, Mustataと共同で,単項イデアルのb関数に対する組み合わせ論的公式を与え,任意のイデアルに対するb函数を定義し,乗数イデアルとの関係も証明した.阿部は、非特異な代数曲線が結節的曲線に退化するときに行列式束が固定されたベクトル束のモジュライがどのように退化するかを調べた.早川は,指数>1の3次元端末特異点のエコノミカル爆発の存在に関するReid予想を,修正のうえ証明した.海外共同研究者である、松木は川ノ上帆と共同の正標数の特異点解消を目指すプログラムにおいて.不変量を改良し終止予想の回避することに成功し公表した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2007

【配分額】9,200千円 (直接経費: 8,600千円、間接経費: 600千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】12440005 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

flip / flop / Fano 3-fold / canonical divisor / symplectic variety / extremal neighborhood / elliptic structure / terminal singularity / symplectic singularity / invariants / monodromy / derived category / K3 surface / complex symplectic structure / Painleve equation / Calabi-Yau threefold / deformation theory / cononical bundle / Calabi-Yau 3-fold / Gorenstein singularity / eliptic surface / 端末特異点 / 端射線 / Fano多様体 / シンプレクティック多様体 / フリップ / Painleve微分方程式 / ケーラー錐 / K3曲面

【研究成果の概要】

森は、藤野と共に、小平の標準束公式の一般化を与え、応用として、小平次元が3以下の代数多様体の標準環が有限生成になる等を証明した。また、宮岡、高木、コラールとともに、3次元標準Fano多様体の有界性を証明した。さらに、2点の非Gorenstein特異点を持つsemistable extremal nbdで中心曲線が既約なものの座標による具体的記述を与えた。
向井は,種数9でクリフォード指数が極大の代数曲線が6次元シンプレクティックグラスマン多様体の線型切断になるという結果を証明した.
齋藤政彦は,パンルベ方程式の初期値空間を代数幾何学的に特徴付けた代数曲面とその反有理因子の対である岡本・パンルベ対の概念を導入し,その変形論を用いて,逆にパンルベ方程式が得られる事を示した.
中山は、解析空間上のある種の楕円ファイバー空間の双有理同値類全体を∂-エタールコホモロジーによって記述した。
並河良典は、複素シンプレクティツク多様体の間の双有理写像を研究し、複素シンプレクティック多様体のカテゴリーでは、「リードの夢」の類似は成立しないことを示した。また、.複素シンプレクティック多様体に対する双有理トレリ問題の反例を構成した.
小木曽は,Klein曲線の特徴付けのK3版として、位数168の単純群の4次拡大が忠実に作用するK3曲面は,Klein-向井のK3曲面に限ることを示した.
高木は,竹内聖彦の手法を一般化して,指数2のQ-Fano 3-foldの分類表を作成し,幾つかの場合に存在を確認した.
藤野は4次元標準因子対に関してログフリップの無限列が存在しないことを証明した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2000 - 2003

【配分額】6,500千円 (直接経費: 6,500千円)