代数多様体上の有理曲線
【研究分野】代数学
【研究キーワード】
代数多様体 / アフィン空間 / ジャコビアン予想 / ホモロジー平面 / 有限グラフ / ツィスター空間 / Calabi-Yau多様体 / 位相的不変量 / 開代数曲面 / 群作用 / 組み合わせ論 / 自己同型写像 / 3次元多様体 / 平面アフィン曲線 / 次数最小埋め込み / 不変式 / 有限生成性 / アルゴリズム / Kontsevich不変量 / 強擬凸領域
【研究成果の概要】
研究代表者は研究分担者の増田佳代と協力して、アフィン空間上に作用する無限位数の自己同型写像が部分多様体を点毎に固定するとき、その自己同型写像と部分多様体の可能性を余次元が小さいときに研究した。その副産物として3次元アフィン空間の乗法群を用いた代数的特徴付けを得た。また、タタ研究所のR.V.Gurjarと協力して、ジャコビアン予想をアフィン空間からQ-ホモロジー平面に拡張して、対数的小平次元が1のときは一般化されたジャコビアン予想が成立することを示した。対数的小平次元が0,-∞のときも大半の場合に予想が成立する。この課題研究の期間において、研究代表者はこれまでの開代数曲面に関する結果をまとめた本を書き、アメリカ数学会から出版することになった。
日比孝之は有限グラフを研究し、関連して定義されるイデアルの性質を調べた。単体に付随する環のBetti数などを調べることによって、非常に豊富な情報が得られ、組み合わせ論、可環境論、代数幾何学などを結びつける強力な手法となってきている。
藤木明はHopf曲面上のツイスター空間のalgebraic reductionを研究して興味ある結果を得た。ツイスター空間は射影空間束に近いものであり、代数多様体と複素多様体の違いと相似性を明らかにできる。
並河良典は複素多様体の変形理論を使ってCalabi-Yau多様体に関する研究を進めた。また、高次元代数多様体の双有理写像として現れるflopを変形理論を通して再構成した。
村上順はThang T.Q.Le等と協力して、平行化された結び目に対するKontsevich不変量の性質を調べて、Kontsevich不変量を3次元多様体の不変量に拡張する際に重要な役割を果たす公式を得た。
柳川浩二はE.Ballicoと協力して、標数pの体上に定義されたCohen-Macaulay整域に関連して定まるPoincare列のh-vectorについて研究を行った。
【研究代表者】