変分問題・物質科学の一般臨界点への道を求めて:数理解析及び数値解析プログラム作成
【研究分野】基礎解析学
【研究キーワード】
discrete Morse flow / Morse (variational) flow / Kashiwagi algorithm / Rothe's approximation / local estimate / De Giorgi-Nash estimate / Campanato estimate / Gehring-Giaquinta-Modica higher integrability / discrete Morse fow / Morse(variational)flow / 国際研究者交流 / 多国籍 / 多変数変分問題 / 非線形最適化 / 一般臨界点解析 / 最小勾配(モース)流 / 特異点解析 / 超伝導・液晶
【研究成果の概要】
代表者はMorse(最急勾配)流を構成し、その時間無限大の極限として一般臨界点解析を行うべく「初期条件から始めて、逐次変分汎函数を導入し、その最小化函数を求めることにより、その極限としてMorse流を構成する」に思い至り、これを「離散Morse流法」として提案した。「離散時間ごとで最小化性を活用出来る」離散Morse流の方法に新たな数理解析が見出されると思う。2年間の研究企画のもとで次の研究課題を中心に成果を纏めることができた。(1)変分解析を利用できる離散Morse流法は「係数に対する滑らかさの弱い仮定」のもとで使えるため、特異点をその本質とする液晶・超伝導等物質科学問題の数理解析に加え、「滑らかでない多様体上での変分問題、非線形波動」に、また流れに沿う積分汎関数を導入することにより不均質媒質中のNavier-Stokes方程式の解の構成問題にも適用される。(2)「局所積分評価・各点評価」を特徴とするこの解析は「大域的積分評価」の所謂有限要素解析とは異なる局所性を精密に解析するものであり、数値解析の基礎理論ともなるものと思う。Pisa,St.Petersburgなどでも離散問題の局所正則性解析は成されていないようである。(3)離散モース流の近似に依存しないDeGiorgi・Nash・Moser,Campanato評価を得ることが出来た。差分近似に依存しないこれら正則性評価は放物型方程式の解の構成問題に直接用いることが出来る。これら差分解の評価が解の構成に直接適用出来ると言う意味において放物型偏微分方程式のアプリオリ評価とは異なるものであり、また「離散Morse流法」に実体をあらしめているものである。三沢正史はp-調和写像変分問題のMorse流に取り組み正則性及び部分正則性の詳細な解析を行いMorse流の構成にも成功している。これは調和写像の対応する成果と比して自然なものである。小俣正朗は各種変分問題のMorse流の構成を行うべくその数理解析と共に数値解析・実験で多くの試みをした。その中にあって離散Morse流法による数値解析には収束性において「変分汎関数の最小化性」が顕著な働きを示すことを見出している。この企画の課題の一つである非線形最適化のアルゴリズム・プログラミング・ソフトウェアー作りにおいて柏木将宏は自身のアルゴリズムを整理しそのプログラミングを行いソフトウェアー化した。
(http://srg.pi.cuc.ac.jp/~kasiwagi/numeric/20040221/)
【研究代表者】