非線形偏微分方程式の大域的適切性
【研究分野】基礎解析学
【研究キーワード】
非線形解析学 / 偏微分方程式論 / 調和解析学 / 関数解析学 / Keller-Segel 方程式系 / Navier-Stokes 方程式 / 弱解の一意性 / 時間大域的弱解 / L＾p-L＾r-型評価 / 最大正則性定理 / 関数方程式 / 非線形偏微分方程式 / keller-Segel系 / タイプI型爆発解 / タイプII型爆発解 / 自己相似解 / 局所存在定理 / Navier-Stokes方程式 / 強エネルギー不等式 / 非斉次境界値問題
【研究成果の概要】
まずKeller-Segel方程式系の解の局所存在定理と有限時間爆発について考察した.一般高次元の領域において,放物型-楕円型の半線型Keller-Segel方程式系のCauchy問題に対して,初期データが可積分および p-乗可積分空間に属するとき,解の局所存在時間の特徴付けを行った.また,初期データの全積分量と2次モーメントの比が,解の有限時刻における爆発にどのような影響を及ぼすかを方程式に現れる係数との相関も含めて明らかにした.応用として,解の爆発時刻付近での漸近挙動は,pに依存して決まる一定の指数オーダーの比率で爆発するのか,あるいは全積分量がある定数以上の振幅で振動するかの二者択一であることを証明した.次に多重連結領域における非斉次境界条件下でのNavier-Stokes方程式の定常問題を考察した.与えらた境界値がそれぞれの境界の連結成分における流量の総和がゼロという条件下では同問題の可解性は未解決である.本研究では,境界値の領域全体へのソレノイダル拡張されたベクトル場の調和部分が非自明な定常Euler 方程式系から決まる圧力勾配と直交していれば,すべての粘性係数について可解であることを証明した.更に応用として,Leray の不等式の整合性と領域の位相幾何学的な性質との関連を特徴づけた.
【研究代表者】