相転移現象を記述する力学系の構造と安定性の研究
【研究分野】大域解析学
【研究キーワード】
相転移現象 / 力学系の安定性 / ステファン問題 / 大域的アトラクター / 劣微分作用素 / 非線形発展方程式 / 非 / -* / 線形発展方程式 / 相転移 / アトラクター / 自由境界問題 / 結晶成長過程 / 安定性
【研究成果の概要】
本研究計画の課題は
(1)相転移現象のモデル化と数学理論の開発
(2)関連の最適制御問題の設定と数値シミュレーション
(3)研究成果の学校教育への還元
の3つであった。課題(1)では、熱力学の基本法則を基盤にして、相転移を伴う物質の数学的表現を通し、時間の発展と共に物質の構造(相変化、成分分離、破壊、原子の秩序)がどのように変化するかを力学系理論の立場から考察した。特に、研究計画後半の2年間、破壊のプロセスを念頭に置いた不可逆相転移現象のモデルのクラスを提案し、その数学理論の開発を行った。15年間構築されてきた、劣微分作用素論とうまく融合したことにより、予想以上の成果が得られた。課題(2)についても、ヒステリシス関数を制御パラメータとする最適制御問題の理論的研究はほぼ目的を達成し、部分的な数値シミュレーションを実行した。計算アルゴリズムについてはまだまだ改良の余地が多く残されている。上記の2課題(1)、(2)について、多くの学術論文が本研究計画の成果として発表された。また、この研究計画期間中に、国際研究集会を2度主催し、国際的レベルでの活動を積極的に行った。
課題(3)については、本研究計画で主催した研究集会「相転移現象の数学と関連した数学教育」において多くの実践研究の成果が報告された。その内容は、時間と共に刻々と変化する(身の回りの)現象に着目し、その力学系の学校教育教材としての付加価値を検証し、実践を行った報告である。これらの教材開発研究は生きた「数学」の学習を体感させるための新教材として発展する可能性が期待され、今後の研究の新展開が大いに注目されている。
【研究代表者】