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双曲型保存則の方程式系は,非線型波として,衝撃波と希薄波および接触不連続波をもつ.実在の物理現象では多くの場合,何らかの粘性効果が働き,粘性双曲型保存則系となり,それは粘性衝撃波,希薄波および粘性的接触波と散逸波をもつ.これらの波の安定性の研究が主目的である.
この研究では,通常のニュートン粘性によるものと,多孔質中の流れに現れる摩擦効果を持つ粘性双曲型保存則系について考察した.多孔質中の流れはダルシーの法則によって対応する放物型方程式の解に漸近することが示され,その事実から派生して,消散型波動方程式が時間発展と共に対応する放物型方程式に漸近する,すなわち消散型波動方程式の解が拡散現象をもつことが予想され,この研究がもうひとつの主研究目標であった.Newton粘性による粘性双曲型保存則については,特に粘性的接触波の安定性が研究分担者の研究によって進展した.この波は3×3システムに特有に現われ,半空間上の初期値境界値問題において漸近安定性が証明され,さらにコーシー問題においても初期擾乱の平均がゼロのもとで漸近安定性が示された.消散型波動方程式の解の拡散現象は,研究代表者によって研究が進められ,線形消散型波動方程式のコーシー問題の解が,指数的に減衰する波動部分と拡散部分に分解されることを基礎として,半線形消散型波動方程式のコーシー問題が解析された.半線形項が吸収項としてあるいは湧出し項として働く場合に,それぞれ,解の大域存在,漸近形あるいは有限時間内の解の爆発現象と爆発時間の評価等が考察された.対応する半線型拡散方程式についてはより詳しい結果が得られているが,波動方程式には解の平滑化効果や最大値原理が成立たず,さらなる研究が必要とされる.

【研究分担者】
松村昭孝	大阪大学	大学院・情報科学研究科	教授	(Kakenデータベース)