【研究領域課題番号】18K11203 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

統計推測 / 漸近理論 / マルチンゲール / 最大不等式 / 推定方程式 / ヒルベルト空間 / 高次元データ / 経験過程 / Dantzig selector / 高次元統計学 / 適合度検定 / 変化点検定 / 統計的推定 / 統計的仮説検定 / 確率過程

【研究成果の概要】

本研究の目標は二つある。一つ目は、従来より主として独立同一分布に従う観測データに基づくモデルにおいて研究されてきた、Bernstein の不等式等を用いたスタンダードな統計推測の理論を、確率過程モデルにおける理論に拡張する、ということである。この目標については、本年度は、その基礎となるさまざまな手法を一望する著書 "Martingale Methods in Statistics" の執筆を脱稿し、2021年11月に出版した。この分野の研究の礎となる著作であると自負しており、自分自身のみならず広く世界の研究者が今後研究発展に関与していく中で有益になると考えている。
二つ目は、Kolmogorov 以来の chaining や bracketing の手法を根本的に見直し、Bernstein の不等式等の使用を最小限にとどめ、主として確率解析における部分積分の公式や伊藤の公式を用いることにより、全く新しいタイプの最大不等式を導出することである。これはとても野心的な目標であるが、もし成功すれば、高次元統計学に画期的な進歩が期待されるものである。この目標については現在までのところ、当初予想していたものとは少々異なる形ではあるが、"Stochastic Maximal Inequality" と称する新しい不等式の証明に、2021年4月ごろ成功した。当初は独立した学術論文としての公表を予定していたが、ちょうど上述の著書の出版の時期と重なったっため、同書の Appendix に収録した。今後、高次元マルチンゲール理論の発展の基本ツールとして有用となるであろうことが期待される。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2018-04-01 - 2023-03-31

【配分額】3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)

【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】17H01100 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

統計数学 / 確率過程 / 計算統計 / 数理統計学 / リード・ラグ分析 / 高頻度データ / セミマルチンゲールの期待値汎関数 / 初期到達時刻分布 / 統計的機械学習 / 先行遅行分析 / ウェーブレット解析 / ある点過程の周辺尤度解析とモデル選択 / 確率微分方程式による死亡率予測モデリング / 高次元共分散推定 / ジャンプ型拡散過程 / 初期到達分布 / 漸近理論 / 保険数理 / ジャンプ型確率過程

【研究成果の概要】

今年度は，(i) エルゴード的拡散過程における適応型仮説検定問題，(ii) 一般的な確率変数に対する汎関数推定量の漸近分布，(iii) 深層ニューラルネットワークによる確率過程のパラメータ推定，(iv) 先行遅行関係の検定手法，について研究を行った．詳細は次の通りである．
(i) 高頻度データを用いて，エルゴード的拡散過程のドリフトパラメータとボラティリティパラメータの適応型検定統計量を構成し，それらの漸近分布を導出した．また適応型仮説検定の一致性を証明した．
(ii) Malliavin解析の手法を回避することにより，セミマルチンゲールを含むより一般的な確率変数に対する汎関数推定量の漸近分布を求めるための簡便な十分条件を発見し，その漸近分布を計算可能な形で示した．
(iii) 深層ニューラルネットワークによってエルゴード的拡散過程のドリフト係数を推定する方法について研究した．先行研究では，独立同分布観測に基づいて回帰関数をノンパラメトリック推定する問題において，推定量として深層ニューラルネットワークを用いた際の推定誤差のバウンドが導出されているが，拡散過程の長期高頻度観測からドリフト係数を推定するという文脈においても，類似の推定誤差のバウンドが正当化できることを示した．
(iv) 2017~2018年度の研究において導入した，複数の時間スケールに異なる種類のリード・ラグ関係が存在することを許す確率過程モデルにおいて，時間スケールごとにリード・ラグ関係が有意に存在するか否かを検定する方法を研究した．検定統計量を提案し，数値シミュレーションにおいてはうまく機能していることを確認した．

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2017-04-01 - 2022-03-31

【配分額】44,460千円 (直接経費: 34,200千円、間接経費: 10,260千円)

【研究分野】統計科学

【研究領域課題番号】17H01702 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

漸近理論 / 漸近展開 / 尤度解析 / 確率過程 / 高頻度観測 / フラクショナルブラウン運動 / 確率微分方程式 / Euler-Maruyama近似 / 擬似尤度解析 / ジャンプ / 退化拡散過程 / Wiener汎関数 / Skorohod積分 / スパース推定 / マリアバン解析 / 極限定理 / モデル選択 / リード・ラグ / 統計数学 / 確率論

【研究成果の概要】

エルゴード的な状況での一般Wiener汎関数の分布の任意次の漸近展開が得られることを、C. A. Tudor氏との共同研究で見出している。この応用として、混合型フラクショナルブラウン運動の２次変動の分布の漸近展開を導出した。ハースト係数Hの値によって展開の形が変化し、漸近展開は複雑なものになる。
確率微分方程式の解のEuler-Maruyama近似に対する分布論的漸近展開を、マルチンゲールの漸近展開法（Yoshida　2013）によって与えた。ランダムシンボルを特定し、汎関数のMalliavin共分散の漸近非退化性を示し、漸近展開式の解析的正当性を証明した。非エルゴード統計であり、混合正規型の漸近展開である。
離散時間観測されたジャンプ拡散過程の拡散パラメータの推定問題においてはジャンプを的確に除去することが必須である。従来の閾値法は、理論上有効性が証明されているが、チューニングパラメータに結果が大きく依存し、実際の安定性および精度は長年問題となっていた。グローバルジャンプフィルタを導入し、この問題を解決した。グローバルジャンプフィルタは、確率過程の各増分のジャンプの判定に全ての増分を利用する。フィルタは適合的でなくなり、マルチンゲール理論と相性が悪いが、推定量の漸近挙動を解明した。擬似尤度解析(Yoshida, 2011）を構成し、ベイズ型推定量の漸近挙動も示した。
退化拡散過程は生命科学等の多くの応用に現れる。非退化拡散過程の統計推測理論は高度に発達しているが、退化拡散過程のそれは未発達である。エルゴード的退化拡散過程に対して、パラメータの適合型推定量を構成し、その漸近正規性を証明した。退化成分のドリフト推定量は非退化成分の拡散係数の推定量よりも収束は速く、また、非退化成分の推定量の最適分散が退化成分の観測の情報によって小さくでき、漸近効率が上がることを示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2017-04-01 - 2021-03-31

【配分額】15,990千円 (直接経費: 12,300千円、間接経費: 3,690千円)

【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】15K05009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

保険数理 / 確率過程 / 統計推測 / リスク理論 / ジャンプ型確率過程 / 破産関連リスク評価 / 破産理論 / リスク管理 / 漸近理論

【研究成果の概要】

ジャンプ型の確率微分方程式による資産モデルを用いた保険数理における破産確率、及びその一般化であるGerber-Shiu関数をによるリスク尺度の構築を行った。特に、経時的に変化するリスクを評価する動的リスク尺度の構築と、その数学的正当化を行った。次に、これらのリスク尺度に死亡リスク評価を含める目的で、死亡率予測モデルの予測精度改善に関する研究を行った。信頼性理論に基づいた小地域の死亡率推定に関する新しい方法論を提案したが、予測精度の向上については課題を残した。加えて、Gerber-Shiu関数に対する統計推測理論の研究も行った。これは上記で構築したリスク尺度の実務的応用のために必須のものである。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2015-04-01 - 2018-03-31

【配分額】4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】24740061 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

破産理論 / 確率過程 / 数理統計 / 保険数理 / 漸近理論 / レヴィ型リスクモデル / 破産関連リスク量 / 再生方程式 / 国際情報交換(アメリカ，カナダ，中国)

【研究成果の概要】

古典的保険破産解析の一般化として，レヴィ型リスクモデルに対する一般化Gerber-Shiu解析を展開した．主要結果としては，代表的な破産関連リスクであるGerber-Shiu関数を，サープラスの積分型汎関数として一般化し，その再生型積分方程式や，レヴィ過程のスケール関数による表現定理を導出した．また，インフレーション型リスクモデル(確率微分方程式モデル)に対する破産理論を展開し，破産確率評価や再保険戦略などの具体的問題を解いた．さらに統計的方法として，破産確率の漸近展開近似や，データに基づいた推測理論を構築し，推定量の誤差評価やその収束率を求めた．これらは数値実験によりその有効性が確認された．

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2012-04-01 - 2015-03-31

【配分額】3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】24340015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

漸近展開 / Malliavin解析 / 極限定理 / 確率過程の統計学 / 擬似尤度解析 / 非同期共分散推定 / ボラティリティ / セミマルチンゲール / 統計数学 / 機械学習 / 解析学 / 確率論 / 確率過程 / 漸近理論 / ファイナンス / マルチンゲール展開 / 疑似尤度解析

【研究成果の概要】

有限時間高頻度観測における確率回帰モデルのボラティリティの疑似尤度解析において，確率場の非退化性を保証する解析的および幾何学的判定条件を与え，擬似最尤推定量および擬似ベイズ推定量の漸近混合正規性と積率収束を証明した．有限時間非同期高頻度観測下で疑似尤度解析を構成した．極限が混合正規となるマルチンゲールの漸近展開が確立した．これは伝統的な漸近展開理論の枠を越える新しい極限定理である．応用としてp-変動の漸近展開が導出された．マイクロストラクチャーノイズ除去を伴う分散推定量の漸近展開の研究が進展した．情報量規準sVICや，ソフトウエア開発のための基礎理論研究を行った．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2012-04-01 - 2016-03-31

【配分額】18,070千円 (直接経費: 13,900千円、間接経費: 4,170千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】21740073 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

統計数学 / 確率過程 / 漸近理論 / ジャンプ拡散過程 / 閾値推定 / 情報量規準 / 非エルゴード的モデル / 金融・保険への応用

【研究成果の概要】

金融や保険の資産モデルなどに応用される確率モデルに含まれる未知パラメータに対する,データに基づく実際的な推定手法を開発し,その理論的な正当性を数学的に証明した.その手法の計算機への実装も進行中である.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】21540157 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

マルチンゲール / メトリック・エントロピー / 弱収束 / 適合度検定 / 推定 / 漸近有効性 / 変化点問題 / 確率過程 / 漸近理論 / 検定 / 不変原理

【研究成果の概要】

時間の経過にしたがって変化するデータを記述する数学的モデルにおいて,データのモデルへのあてはまりの度合いを検証する問題を「適合度検定」という.それをおこなうための統計量の分布は,一般には陽に求めることはできないが,観測期間が長いときには,標準ブラウン運動の汎関数で近似することができる.このような状況を「漸近的分布不変」という.本研究の主たる成果のひとつは,さまざまな統計モデルにおいて,そのような統計量の構成に成功したことである.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】20740061 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

統計的漸近推測理論 / 確率過程論 / 確率解析 / 統計数学 / 漸近理論 / 確率微分方程式 / レヴィ過程 / 確率過程

【研究成果の概要】

連続的に時間発展する様々な確率過程モデルの統計解析手法について,主として以下の結果を得た.(1)不均一な変動度合いを呈する場合のパラメータ推定法および近似信頼領域の構成法を定式化した.(2)モデルの長期期間での安定性のための条件を導出した.(3)ジャンプ過程の場合に,実装容易かつ高精度な平均構造推定法を与えた.(4)ノイズ過程の深刻な誤特定を回避するための処方箋を作成した.これらは全て,効率良い定量的情報搾取の道具となる.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2008 - 2010

【配分額】4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)

【研究分野】統計科学

【研究領域課題番号】17300089 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形モデリング / 関数データ解析 / 機械学習 / ベイズ理論 / カーネル法 / 計算統計 / 確率過程 / 共分散構造分析 / 因子分析モデル / プロフィールモデル / 多変量確率過程 / 学習理論 / 統計的漸近理論 / モデル選択 / 拡散過程 / 識別・判別 / 空間データ解析 / 統計的学習理論 / 漸近理論 / 非正則モデル / 高次非線形モデリング / モデル評価基準

【研究成果の概要】

高次元データに基づく複雑現象解明を目的として, 非線形多変量解析の理論・方法論の開発研究と応用研究に取り組み, 現象の構造を有効に捉える非線形回帰モデリング, ロジスティックモデルに基づく非線形識別・判別法, リスクを定量的に評価・予測するリスク予測モデルを提唱した. また, 観測・測定されたデータを関数化処理し, 処理した関数化データ集合に基づく解析手法について研究し, 回帰, 識別・判別, 次元圧縮に関して, 関数データ解析手法を提唱することができた. 開発した解析手法は, 生命科学, システム工学, 地球環境科学などの問題解決に応用した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】14,870千円 (直接経費: 12,800千円、間接経費: 2,070千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15740079 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

マルチンゲール / エントロピー / 漸近理論 / 中心極限定理 / 確率過程 / ノンパラメトリック推測 / 確率場 / 最大不等式 / 弱収束 / 確率解析 / 拡散過程 / 変化点 / 仮説検定 / 弱拘束

【研究成果の概要】

本研究は、これまで主に独立同一性の仮定で研究されてきたエントロピー法をマルチンゲールに拡張することであった。平成16度までにおいても有界変動をもつマルチンゲールの場合については研究されていたが、今年度においては、ジャンプを無限個もつような場合にまで拡張することに成功した。この結果によって、マルチンゲールに対するエントロピー法の理論は、少なくとも中心極限定理への応用を視野におく範囲に関しては最終結論に達したといえる。この結果は、Annals of Probability誌に投稿中であり、好意的なレビューを受けて改訂中である。
また、その応用として、レヴィ過程のノンパラメトリック推測の理論を展開した。特にNelson-Aalen推定量の汎関数の意味での漸近正規性を証明し、またそれが漸近有効であることも示した。その応用として、適合度検定のためのKolmogorov-Simrnov型統計量の漸近分布も導出した。これらの結果は統計学の基本的な部分に相当し、今後の研究の流れに大きな影響を与えると予想している。
本年度において、これらの成果を世界一流の研究者と議論すべく、さまざまな場で講演を行った。科学研究費補助金の援助を受け、ノルウェー大学において研究発表を行った。また、(科研費の援助ではないが)オランダ王国のGill教授、van der Vaart教授、van Zanten博士を訪ねて有益な議論を行った。このように、本研究は当初の予定通りの成果をもって終了することができた。今後の将来性も期待できる。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】1,500千円 (直接経費: 1,500千円)