Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

パーシャルミキシング / 漸近展開 / マリアバン解析 / 確率微分方程式 / フィルタリング / ボラティリティ / ファイナンス / M推定 / 条件付き期待値 / マリアヴァン解析 / サンプリング / ザバイバルアナクシス

確率過程に対する統計推測の漸近理論に必要な,統計量の分布の漸近展開の研究を行った.具体的には,
1.パーシャル・ミキシング過程の漸近展開理論の研究と,その応用として,強定常確率過程を説明変数にもつ確率回帰モデルの未知パラメータの分布の推定量の漸近展開を導出した.この展開式の2次項は,説明変数の強従属性による非中心極限定理に関係し,通常のT^{-1/2}乗オーダーでなく,ハースト指数に拠ったオーダーになる.
2.条件つき漸近展開とその実装.抽象的なマリアヴァン作用素が与えられた確率空間上の汎関数に対して,渡辺理論の部分的拡張を最近行った.ジャンプ型の汎関数に対する漸近展開および条件付漸近展開が可能となるが,本研究ではそれをフィルタリング問題に適用し,計算機で展開式の計算を行うアルゴリズムを作った.
3.非同期観測データに基づく拡散係数の相関係数の推定量の構成.ファイナンスにおいて,複数のセキュリティの確率過程のボラティリティ間の相関を推定する必要が生じる.実際のデータはそれぞれのセキュリティが売買の起こったときに価格が観測されることから,非同時観測時点でのデータしか得られないため,通常の2次変動型推定量は適用できない.この問題に対して,新しい概対角型2次統計量を構成し,その一致性を証明した.
4.ジャンプ型確率微分方程式の離散観測に基づくM-推定量の構成,一致性,漸近正規性および漸近展開の導出.
5.ジャンプ型確率ボラティリティモデルに対する漸近展開.証券の対数収益率を,レビ過程で駆動されるオルンシュタイン・ウーレンベック過程を拡散係数にもつ確率ボラティリティモデルとして表現することが行われている.この確率ボラティリティモデルからの離散時間観測において,その時間間隔が大きくなれば,増分が正規分布に従うこと(アグリゲーション・ガウシアニティ),および間隔が短くなれば,正規分布から乖離することが知られている.この現象の説明が,その増分の分布の漸近展開を行うことによって可能となった.筆者らが以前発表した,確率微分方程式の解として定義される汎関数に対する漸近展開の一般理論を適用し,漸近展開の正当性(validity)も証明した.このモデルの構造から,エッジワー展開の係数が陽に表現でき,応用し易い展開式が得られた.
6.エプシロン・マルコフ過程の汎関数に対する漸近展開,退化のもとでの漸近展開,予測域に関する論文を発表または準備した.

漸近展開 / マリアヴァン解析 / フィルタリング / パーシャルミキシング / デリバティブ / 情報量規準 / 条件付き期待値 / 長期記憶過程 / 確率微分方程式 / 条件付漸近展開 / ミキシング / ゲノム / 確率過程 / Malliavin解析 / サポート定理 / 推定量 / ファイナンス

1.ミキシング条件を満たすマルコフ型連続時間確率過程の汎関数に対して,その分布の漸近展開を与えた.離散時間モデルに対して知られていた条件付きクラーメル条件が,マリアヴァン共分散の非退化性条件に置き換えられ,確率微分方程式に対して漸近展開が導出され,そのバリディティ(解析的正当性)も同時に証明された.
2.1の統計推測論への応用として,ミキシング条件を満足する連続時間確率過程のなすパラメトリックモデルに対するM-推定量の分布の漸近展開が導出された.さらに,拡散過程に対して,漸近展開公式の係数の表現を完全に与えた.上記1,後述の5とともに,この結果はこの分野の基本的なものとして,応用され始めている.
3.スモールシグマ理論の設定で,小さな拡散係数を持つ拡散過程のパラメトリックモデルの総体に対して,最適モデル選択のための基準(情報量基準)を導出した.
4.セキュリティが一般の非線形確率微分方程式で記述されるとき,それに対するデリバティブの価格計算は容易でない問題となるが,ボラティリティ項を摂動し,漸近展開によって近似計算が可能である.これは筆者が始めた方法であるが,その後多くの研究者がこの方法によって近似計算を行っている.セキュリティの確率微分方程式が未知パラメータを含む現実的な設定で,その推定量の代入がオプション価格の近似に及ぼす影響を評価し,有効な漸近展開公式を与えたものである.
5.長期記憶過程を係数とする確率微分方程式に対する漸近展開は,そのモデルが通常のミキシング条件を満足しないので,新しい形式の漸近展開理論が必要となる.パーシャルミキシングの概念を導入し,汎関数の漸近展開を与えた.同時に,汎関数のマリアヴァン共分散の局所非退化性を,サポート定理によって大幅に検証容易なものとし,これによって,確率微分方程式に対する漸近展開が,独立観測に対するように,自由に運用できるようになった.
6.条件付き期待値の漸近展開は,最も非正則的な漸近展開と言え,無限次元確率解析によってそれが可能となる.その理論を与え,フィルタリング問題への条件付き漸近展開の応用について議論した.